编辑:在我问这个问题一段时间后,一个名为 MonoPoly
(可用 here )的 R 包出现了,它完全符合我的要求。我强烈推荐它。
我有一组要拟合曲线的点。曲线必须是单调的(值永远不会减少),即曲线只能向上或保持平坦。
我最初一直在对我的结果进行多拟合,并且在我找到一个特定的数据集之前一直很好用。该数据集中数据的 polyfit 是非单调的。
我做了一些研究,并在 this 帖子中找到了一个可能的解决方案:
Use lsqlin. Constrain the first derivative to be non-negative at both ends of the domain of interest.
我来自编程而不是数学背景,所以这有点超出我的范围。正如他所说,我不知道如何将一阶导数限制为非负。另外,我认为在我的情况下我需要一条曲线,所以我应该使用 lsqcurvefit 但我不知道如何约束它以产生单调曲线。
进一步的研究出现了 this 推荐
lsqcurvefit
的帖子,但我不知道如何使用重要的部分:Try this non-linear function F(x) also. You use it together with lsqcurvefit but it require a start guess on the parameters. But it is a nice analytic expression to give as a semi-empirical formula in a paper or a report.
%Monotone function F(x), with c0,c1,c2,c3 varitional constants F(x)= c3 + exp(c0 - c1^2/(4*c2))sqrt(pi)... Erfi((c1 + 2*c2*x)/(2*sqrt(c2))))/(2*sqrt(c2))
%Erfi(x)=erf(i*x) (look mathematica) but the function %looks much like x^3 %derivative f(x), probability density f(x)>=0 f(x)=dF/dx=exp(c0+c1*x+c2*x.^2)
我必须有一个单调曲线,但我不知道如何去做,即使有所有这些信息。随机数是否足以进行“开始猜测”。
lsqcurvefit
是最好的吗?我如何使用它来生成最佳拟合单调曲线?谢谢
最佳答案
这是一个使用 lsqlin
的简单解决方案。在每个数据点强制执行导数约束,如果需要,可以轻松修改。
需要两个系数矩阵,一个 ( C
) 用于最小二乘误差计算,另一个 ( A
) 用于数据点中的导数。
% Following lsqlin's notations
%--------------------------------------------------------------------------
% PRE-PROCESSING
%--------------------------------------------------------------------------
% for reproducibility
rng(125)
degree = 3;
n_data = 10;
% dummy data
x = rand(n_data,1);
d = rand(n_data,1) + linspace(0,1,n_data).';
% limit on derivative - in each data point
b = zeros(n_data,1);
% coefficient matrix
C = nan(n_data, degree+1);
% derivative coefficient matrix
A = nan(n_data, degree);
% loop over polynomial terms
for ii = 1:degree+1
C(:,ii) = x.^(ii-1);
A(:,ii) = (ii-1)*x.^(ii-2);
end
%--------------------------------------------------------------------------
% FIT - LSQ
%--------------------------------------------------------------------------
% Unconstrained
% p1 = pinv(C)*y
p1 = fliplr((C\d).')
p2 = polyfit(x,d,degree)
% Constrained
p3 = fliplr(lsqlin(C,d,-A,b).')
%--------------------------------------------------------------------------
% PLOT
%--------------------------------------------------------------------------
xx = linspace(0,1,100);
plot(x, d, 'x')
hold on
plot(xx, polyval(p1, xx))
plot(xx, polyval(p2, xx),'--')
plot(xx, polyval(p3, xx))
legend('data', 'lsq-pseudo-inv', 'lsq-polyfit', 'lsq-constrained', 'Location', 'southoutside')
xlabel('X')
ylabel('Y')
对于指定的输入拟合曲线:
实际上这段代码比你要求的更通用,因为多项式的次数也可以改变。
编辑:在附加点中强制执行导数约束
评论中指出的问题是由于派生检查仅在数据点中执行。在这些之间不执行检查。以下是缓解此问题的解决方案。想法:通过使用惩罚项将问题转换为无约束优化。
请注意,它使用项
pen
来惩罚导数检查的违规,因此结果不是真正的最小二乘误差解。此外,结果取决于惩罚函数。function lsqfit_constr
% Following lsqlin's notations
%--------------------------------------------------------------------------
% PRE-PROCESSING
%--------------------------------------------------------------------------
% for reproducibility
rng(125)
degree = 3;
% data from comment
x = [0.2096 -3.5761 -0.6252 -3.7951 -3.3525 -3.7001 -3.7086 -3.5907].';
d = [95.7750 94.9917 90.8417 62.6917 95.4250 89.2417 89.4333 82.0250].';
n_data = length(d);
% number of equally spaced points to enforce the derivative
n_deriv = 20;
xd = linspace(min(x), max(x), n_deriv);
% limit on derivative - in each data point
b = zeros(n_deriv,1);
% coefficient matrix
C = nan(n_data, degree+1);
% derivative coefficient matrix
A = nan(n_deriv, degree);
% loop over polynom terms
for ii = 1:degree+1
C(:,ii) = x.^(ii-1);
A(:,ii) = (ii-1)*xd.^(ii-2);
end
%--------------------------------------------------------------------------
% FIT - LSQ
%--------------------------------------------------------------------------
% Unconstrained
% p1 = pinv(C)*y
p1 = (C\d);
lsqe = sum((C*p1 - d).^2);
p2 = polyfit(x,d,degree);
% Constrained
[p3, fval] = fminunc(@error_fun, p1);
% correct format for polyval
p1 = fliplr(p1.')
p2
p3 = fliplr(p3.')
fval
%--------------------------------------------------------------------------
% PLOT
%--------------------------------------------------------------------------
xx = linspace(-4,1,100);
plot(x, d, 'x')
hold on
plot(xx, polyval(p1, xx))
plot(xx, polyval(p2, xx),'--')
plot(xx, polyval(p3, xx))
% legend('data', 'lsq-pseudo-inv', 'lsq-polyfit', 'lsq-constrained', 'Location', 'southoutside')
xlabel('X')
ylabel('Y')
%--------------------------------------------------------------------------
% NESTED FUNCTION
%--------------------------------------------------------------------------
function e = error_fun(p)
% squared error
sqe = sum((C*p - d).^2);
der = A*p;
% penalty term - it is crucial to fine tune it
pen = -sum(der(der<0))*10*lsqe;
e = sqe + pen;
end
end
可以使用无梯度方法通过精确执行导数约束来解决问题,例如:
[p3, fval] = fminsearch(@error_fun, p_ini);
%--------------------------------------------------------------------------
% NESTED FUNCTION
%--------------------------------------------------------------------------
function e = error_fun(p)
% squared error
sqe = sum((C*p - d).^2);
der = A*p;
if any(der<0)
pen = Inf;
else
pen = 0;
end
e = sqe + pen;
end
具有非线性约束的
fmincon
可能是更好的选择。我让你解决细节并调整算法。我希望它足够了。
关于matlab - 寻找最佳单调曲线拟合,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/36423396/