algorithm - 汉明数和 double

Question

我正在尝试生成 Hamming numbers在 Haskell 中，尝试改进显而易见的东西(请原谅函数的命名)

mergeUniq :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
mergeUniq (x:xs) (y:ys) = case x `compare` y of
                               EQ -> x : mergeUniq xs ys
                               LT -> x : mergeUniq xs (y:ys)
                               GT -> y : mergeUniq (x:xs) ys

powers :: [Integer]
powers = 1 : expand 2 `mergeUniq` expand 3 `mergeUniq` expand 5
  where
    expand factor = (factor *) <$> powers

我注意到我可以避免(较慢的)任意精度 Integer如果我将数字表示为 2、3 和 5 指数的三元组，例如 data Power = Power { k2 :: !Int, k3 :: !Int, k5 :: !Int } ，其中数字被理解为 2<sup>k2</sup> * 3<sup>k3</sup> * 5<sup>k5</sup> .两者的比较Power s 然后变成

instance Ord Power where
  p1 `compare` p2 = toComp (p1 `divP` gcdP) `compare` toComp (p2 `divP` gcdP)
    where
    divP p1 p2 = Power { k2 = k2 p1 - k2 p2, k3 = k3 p1 - k3 p2, k5 = k5 p1 - k5 p2 }
    gcdP = Power { k2 = min (k2 p1) (k2 p2), k3 = min (k3 p1) (k3 p2), k5 = min (k5 p1) (k5 p2) }
    toComp Power { .. } = fromIntegral k2 * log 2 + fromIntegral k3 * log 3 + fromIntegral k5 * log 5

所以，非常粗略地说，比较p₁ = 2<sup>i₁</sup> * 3<sup>j₁</sup> * 5<sup>k₁</sup>和 p₂ = 2<sup>i₂</sup> * 3<sup>j₂</sup> * 5<sup>k₂</sup>我们比较 p₁ 的对数和 p₂ ，大概适合 Double .但实际上我们做得更好:我们首先计算它们的 GCD(通过找到相应指数对的 min s——到目前为止只有 Int 算术!)，除以 p₁和 p₂通过 GCD(通过从相应的指数中减去 min s——也只是 Int 算术)，并比较结果的对数。

但是，考虑到我们要遍历 Double s，最终会有精度损失。这是我提出问题的基础:

1. Double 的有限精度何时可用咬我？即如何估计i, j, k的顺序2<sup>i</sup> * 3<sup>j</sup> * 5<sup>k</sup>的比较结果具有“相似”指数的数字会变得不可靠吗？
2. 我们除以 GCD(这可能会大大降低该任务的指数)这一事实如何修改对上一个问题的回答？

我做了一个实验，将以这种方式产生的数字与通过任意精度算法产生的数字进行比较，所有海明数直到第 1'000'000'000 个完全匹配(我花了大约 15 分钟和 600 megs 的 RAM 来验证)。但这显然不是证明。

Answer 1

Empirically ，它高于约 10 万亿分之一的汉明数，或更高。

使用你的好 GCD 技巧在这里对我们没有帮助，因为一些相邻的汉明数之间必然没有公因数。

更新:在 on ideone 和其他地方在线尝试，我们得到

4T  5.81s 22.2MB  -- 16 digits used.... still good
                  --  (as evidenced by the `True` below), but really pushing it.
((True,44531.6794,7.275957614183426e-11),(16348,16503,873),"2.3509E+13405")
-- isTruly  max        min logval           nth-Hamming       approx.
--  Sorted   logval      difference          as i,j,k          value
--            in band      in band                             in decimal
10T   11.13s 26.4MB
((True,60439.6639,7.275957614183426e-11),(18187,23771,1971),"1.4182E+18194")
13T   14.44s 30.4MB    ...still good
((True,65963.6432,5.820766091346741e-11),(28648,21308,1526),"1.0845E+19857")

---- same code on tio:
10T   16.77s
35T   38.84s 
((True,91766.4800,5.820766091346741e-11),(13824,2133,32112),"2.9045E+27624")
70T   59.57s
((True,115619.1575,5.820766091346741e-11),(13125,13687,34799),"6.8310E+34804")

---- on home machine:
100T: 368.13s
((True,130216.1408,5.820766091346741e-11),(88324,876,17444),"9.2111E+39198")

140T: 466.69s
((True,145671.6480,5.820766091346741e-11),(9918,24002,42082),"3.4322E+43851")

170T: 383.26s         ---FAULTY---
((False,155411.2501,0.0),(77201,27980,14584),"2.80508E+46783")