numpy - 为什么特征向量与对应特征值的乘积不等于原矩阵与特征向量的乘积？

Question

当我用一个矩阵乘以一个特征向量时，它应该产生与将该特征向量乘以其相应的特征值相同的输出。我正在尝试验证我的特征向量和特征值是否按宣传的那样工作，但输出似乎不正确。

cov_matrix = np.cov(scaled_data)
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eigh(cov_matrix)

a = cov_matrix.dot(eig_vecs[:, 0])
b = eig_vecs[:, 0] * eig_vals[0]

当我打印 a 和 b 时，它们的形状相同，但它们的值都不同。这里出了什么问题？

Answer 1

尝试以下操作:

import numpy as np

np.random.seed(42) # for reproducibility
A = np.random.random((10,10)) + np.random.random((10,10)) * 1j
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eigh(A)

np.allclose(A @ eig_vecs[:, 0], eig_vals[0] * eig_vecs[:, 0])
>>> False

请记住，np.linalg.eigh返回复数 Hermitian(共轭对称)或实对称矩阵的特征值和特征向量。所以对于厄密矩阵:

A = (A + A.T.conj())/2  # Here A is forced Hermitian now
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eigh(A)

print(np.allclose(A @ eig_vecs[:, 0], eig_vals[0] * eig_vecs[:, 0]))
>>> True

如果 cov_matrix 在对角化之前检查是对称的，类似于 np.allclose(cov_matrix, cov_matrix.T.conj()) .如果没有，您可以使用 np.linalg.eig .