python - 如何将样条曲线拟合转换为分段函数？

Question

假设我有

import numpy as np
from scipy.interpolate import UnivariateSpline

# "true" data; I don't know this function
x = np.linspace(0, 100, 1000)
d = np.sin(x * 0.5) + 2 + np.cos(x * 0.1)

# sample data; that's what I actually measured
x_sample = x[::20]
d_sample = d[::20]

# fit spline
s = UnivariateSpline(x_sample, d_sample, k=3, s=0.005)

plt.plot(x, d)
plt.plot(x_sample, d_sample, 'o')
plt.plot(x, s(x))
plt.show()

我懂了



我现在想拥有的是所有橙色点之间的功能，所以像

knots = s.get_knots()
f0 = <some expression> for knots[0] <= x < knots[1]
f1 = <some expression> for knots[1] <= x < knots[2]
...

因此，应选择fi，使其重现样条曲线拟合的形状。

我找到了here帖子，但是对于上面的示例，在那里产生的样条曲线似乎不正确，并且它也不正是我所需要的，因为它不返回表达式。

如何将样条曲线变成分段函数？是否有(简单)方式来表达每个间隔，例如作为多项式？

Answer 1

简短的答案是，如果您对基于标准幂的多项式系数感兴趣，那么最好使用 CubicSpline (请参见this discussion):

cu = scipy.interpolate.CubicSpline(x_sample, d_sample)

plt.plot(x_sample, y_sample, 'ko')
for i in range(len(cu.x)-1):
    xs = np.linspace(cu.x[i], cu.x[i+1], 100)
    plt.plot(xs, np.polyval(cu.c[:,i], xs - cu.x[i]))

为了回答您的问题，您可以在此处使用numpy.piecewise，cu.x中的断点和cu.c中的系数从此处创建一个分段函数，然后直接自己编写多项式表达式或使用numpy.polyval。例如，

cu.c[:,0]  # coeffs for 0th segment
# array([-0.01316353, -0.02680068,  0.51629024,  3.        ])

# equivalent ways to code polynomial for this segment
f0 = lambda x: cu.c[0,0]*(x-x[0])**3 + cu.c[1,0]*(x-x[0])**2 + cu.c[2,0]*(x-x[0]) + cu.c[3,0]
f0 = lambda x: [cu.c[i,0]*(x-x[0])**(3-i) for i in range(4)]

# ... or getting values directly from x's
y0 = np.polyval(cu.c[:,0], xs - cu.x[0])

LONGE ANSWER:

这里有一些潜在的困惑点:

UnivariateSpline适合B-spline基础，因此系数与标准多项式幂基础

不同

为了从B样条转换，我们可以使用PPoly.from_spline，但是不幸的是，UnivariateSpline返回一个截断的结和系数列表，该函数无法使用。我们可以通过访问样条线对象的内部数据来解决此问题，这有点禁忌。

此外，系数矩阵c(无论来自UnivariateSpline还是CubicSpline)的阶次相反，并假设您以自己为“中心”，例如c[k,i]处的系数属于c[k,i]*(x-x[i])^(3-k)。

给定您的设置，请注意，如果不使用UnivariateSpline包装器，而直接使用splrep且不进行平滑处理(s=0)，则可以获取tck(knots-coefficients-degree)元组并将其发送到PPoly.from_spline函数并获取系数我们想要:

tck = scipy.interpolate.splrep(x_sample, d_sample, s=0)
tck
# (array([0.        , 0.        , 0.        , 0.        , 2.68456376,
#        4.02684564, 5.36912752, 6.7114094 , 9.39597315, 9.39597315,
#        9.39597315, 9.39597315]),
# array([3.        , 3.46200469, 4.05843704, 3.89649312, 3.33792889,
#        2.29435138, 1.65015175, 1.59021688, 0.        , 0.        ,
#        0.        , 0.        ]),
# 3)

p = scipy.interpolate.PPoly.from_spline(tck)
p.x.shape  # breakpoints in unexpected shape
# (12,)

p.c.shape  # polynomial coeffs in unexpected shape
# (4, 11)

注意tck和p.x中奇怪的重复断点:这是FITPACK事情(运行所有这些的算法)。

如果尝试从UnivariateSpline发送带有tck的(s.get_knots(), s.get_coeffs(), 3)元组，则会丢失这些重复，因此from_spline不起作用。 checkout source，尽管看起来完整的矢量都存储在self._data中，所以我们可以做

s = scipy.interpolate.UnivariateSpline(x_sample, d_sample, s=0)
tck = (s._data[8], s._data[9], 3)
p = scipy.interpolate.PPoly.from_spline(tck)

并获得与以前相同的结果。要检查这些系数，请执行以下操作:

plt.plot(x_sample, d_sample, 'o')

for i in range(len(p.x)-1):
    xs = np.linspace(p.x[i], p.x[i+1], 10)
    plt.plot(xs, np.polyval(p.c[:,i], xs - p.x[i]))

注意 numpy.polyval 希望coeff的顺序相反，因此我们可以按原样传递p.c。