algorithm - 给定三个接收器的位置和它们接收信号的时间(到达时间延迟)，如何定位信号？

Question

我有 3 个接收器(A、B 和 C)，以及一些位置未知的信号产生源(比如说声音或光)。给定 A、B 和 C 的位置，以及每个接收器“听到”信号的时间，我想确定源的方向。
我知道有一些方法可以通过 TDoA 多边/三边测量来实现，但是我在实现计算时遇到了问题。对于那些完全不熟悉该主题的人，没有很多关于此的清晰、详细的信息。外面的东西是模糊的，更理论化的，或者对我来说有点太深奥了。
SO上的一些类似帖子(但不完全是我所追求的):
TDOA multilateration to locate a sound source
Trilateration of a signal using Time Difference(TDOA)
这也很有趣，但假设我们有一些界限:
Multiliteration implementation with inaccurate distance data
@Dave 还评论了一个优秀且易于访问的资源 https://sites.tufts.edu/eeseniordesignhandbook/files/2017/05/FireBrick_OKeefe_F1.pdf ，但它没有达到足够的深度，以至于人们可能能够在代码中实际实现这一点(至少，对于没有深入了解回归知识的人来说，找到结果双曲线的交集等)。
[编辑]:我应该补充一点，我可以假设 3 个传感器和源位于地球表面，并且地球曲率的影响可以忽略不计(即我们可以在二维中工作)。

Answer 1

有趣的问题。我懒得推导出代数解的方程。相反为什么不适合结果？
因此，只需使用能够找到局部解决方案的任何拟合方法(使用某些误差值的优化/最小化)来拟合 2D(或更高)位置。当我使用我的简单时 approximation search以适应位置结果看起来不错。
算法是:

遍历范围内的“所有”位置
粗略的拟合并不是所有的启发式都会减少很多问题。

在每个测试位置计算将测量的增量时间
从测试位置到接收站的简单旅行时间。

标准化所有增量时间，以便从零开始
所以从所有接收者的时间中减去最小的到达时间。实际测量时间也是如此。这确保时间不涉及相对偏移。

计算实际测量时间和计算时间之间的差异
简单的 abs 差异就足够了。将此值用作拟合参数(优化)。

这里使用我上面链接中的近似类来执行此操作的小 C++ 示例:

//---------------------------------------------------------------------------
// TDoA Time Difference of Arrival
//---------------------------------------------------------------------------
const int n=3;
double recv[n][3];  // (x,y) [m] receiver position,[s] time of arrival of signal
double pos0[2];     // (x,y) [m] object's real position
double pos [2];     // (x,y) [m] object's estimated position
double v=340.0;     // [m/s] speed of signal
double err=0.0;     // [m] error between real and estimated position
//---------------------------------------------------------------------------
void compute()
    {
    int i;
    double x,y,a,da,t0;
    //---------------------------------------------------------
    // init positions
    da=2.0*M_PI/(n);
    for (a=0.0,i=0;i<n;i++,a+=da)
        {
        recv[i][0]=256.0+(220.0*cos(a));
        recv[i][1]=256.0+(220.0*sin(a));
        }
    pos0[0]=300.0;
    pos0[1]=220.0;
    // simulate measurement
    t0=123.5;                   // some start time
    for (i=0;i<n;i++)
        {
        x=recv[i][0]-pos0[0];
        y=recv[i][1]-pos0[1];
        a=sqrt((x*x)+(y*y));    // distance to receiver
        recv[i][2]=t0+(a/v);    // start time + time of travel
        }
    //---------------------------------------------------------
    // normalize times into deltas from zero
    a=recv[0][2]; for (i=1;i<n;i++) if (a>recv[i][2]) a=recv[i][2];
    for (i=0;i<n;i++) recv[i][2]-=a;
    // fit position
    int N=6;
    approx ax,ay;
    double e,dt[n];
              // min,  max,step,recursions,&error
    for (ax.init( 0.0,512.0, 32.0        ,N,   &e);!ax.done;ax.step())
     for (ay.init(  0.0,512.0, 32.0       ,N,   &e);!ay.done;ay.step())
        {
        // simulate measurement -> dt[]
        for (i=0;i<n;i++)
            {
            x=recv[i][0]-ax.a;
            y=recv[i][1]-ay.a;
            a=sqrt((x*x)+(y*y));    // distance to receiver
            dt[i]=a/v;              // time of travel
            }
        // normalize times dt[] into deltas from zero
        a=dt[0]; for (i=1;i<n;i++) if (a>dt[i]) a=dt[i];
        for (i=0;i<n;i++) dt[i]-=a;
        // error
        e=0.0; for (i=0;i<n;i++) e+=fabs(recv[i][2]-dt[i]);
        }
    pos[0]=ax.aa;
    pos[1]=ay.aa;
    //---------------------------------------------------------
    // compute error
    x=pos[0]-pos0[0];
    y=pos[1]-pos0[1];
    err=sqrt((x*x)+(y*y));  // [m]
    }
//---------------------------------------------------------------------------

这里预览:

蓝点是接收器，红点是物体的实际位置，黄叉是它的估计位置。该地区是512x512 m我将它与初始步骤匹配 32 m和 6导致错误的递归 ~0.005 m我对结果非常满意...您可以更改接收器的数量 n对源代码或算法没有任何真正的改变。我将接收器位置初始化为均匀分布在圆圈上，但位置可能是任何其他位置(并非全部位于粗线)