python - 使用NumPy最小化此错误功能

Question

背景
我已经工作了一段时间，尝试解决3-dimensions和使用4节点中的(众所周知的痛苦)到达时间差(TDoA)多面问题。如果您不熟悉此问题，则应确定给定(X,Y,Z)节点的坐标，信号到达每个节点的时间以及信号n的速度，从而确定某些信号源v的坐标。
我的解决方案如下:
对于每个节点，我们编写(X-x_i)**2 + (Y-y_i)**2 + (Z-z_i)**2 = (v(t_i - T)**2其中(x_i, y_i, z_i)是ith节点的坐标，而T是发射时间。
现在，我们在4未知数中具有4方程。四个节点显然不足。我们可以尝试直接解决该系统，但是考虑到问题的高度非线性性质，这似乎几乎是不可能的(而且，实际上，我已经尝试了许多直接技术...并且失败了)。相反，我们通过考虑所有i/j可能性(从等式i中减去等式j)，将其简化为线性问题。我们获得以下形式的(n(n-1))/2 =6方程:2*(x_j - x_i)*X + 2*(y_j - y_i)*Y + 2*(z_j - z_i)*Z + 2 * v**2 * (t_i - t_j) = v**2 ( t_i**2 - t_j**2) + (x_j**2 + y_j**2 + z_j**2) - (x_i**2 + y_i**2 + z_i**2)看起来像Xv_1 + Y_v2 + Z_v3 + T_v4 = b。现在，我们尝试应用标准线性最小二乘法，其中的解决方案是x中的矩阵向​​量A^T Ax = A^T b。不幸的是，如果您尝试将其输入任何标准的线性最小二乘算法中，它将变得很困难。那我们现在怎么办？
...
信号到达节点i的时间(当然)由以下公式给出:sqrt( (X-x_i)**2 + (Y-y_i)**2 + (Z-z_i)**2 ) / v该方程式表明到达时间T是0。如果我们有那个T = 0，我们可以将T列放在矩阵A中，这样就大大简化了问题。的确，NumPy's linalg.lstsq()提供了令人惊讶的准确结果。
...
因此，我要做的是通过从每个方程式中减去最早的时间来归一化输入时间。然后，我要做的就是确定可以添加到每次的dt，以使线性最小二乘找到的点的平方误差总和最小化。
我将某些dt的误差定义为通过将input times + dt输入最小二乘算法预测的点的到达时间之间的平方差，减去输入时间(归一化)，并加总所有4节点。

for node, time in nodes, times:
    error += ( (sqrt( (X-x_i)**2 + (Y-y_i)**2 + (Z-z_i)**2 ) / v) - time) ** 2

我的问题:
通过使用蛮力，我能够令人满意地做到这一点。我从dt = 0开始，然后向上移动了一些步骤，直到达到最大的迭代次数，或者直到达到最小的RSS错误为止，这就是我添加到归一化时间中的dt以获得解决方案。最终的解决方案非常精确，但速度很慢。
实际上，我希望能够实时解决此问题，因此将需要一种速度更快的 解决方案。我首先假设误差函数(即上面定义的dt与error)将是高度非线性的-即兴，这对我来说很有意义。
由于我没有实际的数学函数，因此可以自动排除需要微分的方法(例如Newton-Raphson)。错误函数将始终为正，因此我可以排除bisection等。相反，我尝试简单的近似搜索。不幸的是，那失败了。然后，我尝试了禁忌搜索，然后尝试了遗传算法，并进行了其他几种搜索。他们都惨败。
因此，我决定进行一些调查。事实证明，误差函数与dt的关系图看起来有点像平方根，仅根据信号源与节点的距离来右移:


其中dt在水平轴上，错误在垂直轴上
而且，事后看来，当然可以!我将误差函数定义为包含平方根，因此，至少在我看来，这是合理的。
怎么办？
因此，我现在的问题是，如何确定与误差函数最小值对应的dt？
我的第一次尝试(非常粗略)是在误差图上获得一些点(如上所述)，使用numpy.polyfit对其进行拟合，然后将结果提供给numpy.root。该根对应于dt。不幸的是，这也失败了。我尝试使用各种degrees以及各种要点，直至达到荒谬的点数，这样我也可以只使用蛮力。
如何确定与此错误函数的最小值相对应的dt？
由于我们处理的是高速信号( radio 信号)，因此结果的准确性和准确性非常重要，因为dt中的微小差异会偏离结果点。
我确定我在这里所做的工作中埋藏着一些无限简单的方法，但是忽略了其他所有内容，如何找到dt？
我的要求:

速度至关重要

在将要运行的环境中，我只能访问纯Python和NumPy

编辑:
这是我的代码。诚然，有点困惑。在这里，我正在使用polyfit技术。它将为您“模拟”一个源，并比较结果:

from numpy import poly1d, linspace, set_printoptions, array, linalg, triu_indices, roots, polyfit
from dataclasses import dataclass
from random import randrange
import math

@dataclass
class Vertexer:

    receivers: list

    # Defaults
    c = 299792

    # Receivers:
    # [x_1, y_1, z_1]
    # [x_2, y_2, z_2]
    # [x_3, y_3, z_3]

    # Solved:
    # [x, y, z]

    def error(self, dt, times):
        solved = self.linear([time + dt for time in times])

        error = 0
        for time, receiver in zip(times, self.receivers):
            error += ((math.sqrt( (solved[0] - receiver[0])**2 + 
                (solved[1] - receiver[1])**2 +
                (solved[2] - receiver[2])**2 ) / c ) - time)**2

        return error

    def linear(self, times):
        X = array(self.receivers)
        t = array(times)

        x, y, z = X.T   
        i, j = triu_indices(len(x), 1)

        A = 2 * (X[i] - X[j])
        b = self.c**2 * (t[j]**2 - t[i]**2) + (X[i]**2).sum(1) - (X[j]**2).sum(1)

        solved, residuals, rank, s = linalg.lstsq(A, b, rcond=None)

        return(solved)

    def find(self, times):
        # Normalize times
        times = [time - min(times) for time in times]
        
        # Fit the error function

        y = []
        x = []
        dt = 1E-10
        for i in range(50000):
            x.append(self.error(dt * i, times))
            y.append(dt * i)    

        p = polyfit(array(x), array(y), 2)
        r = roots(p)
        
        return(self.linear([time + r for time in times]))




# SIMPLE CODE FOR SIMULATING A SIGNAL

# Pick nodes to be at random locations
x_1 = randrange(10); y_1 = randrange(10); z_1 = randrange(10)
x_2 = randrange(10); y_2 = randrange(10); z_2 = randrange(10)
x_3 = randrange(10); y_3 = randrange(10); z_3 = randrange(10)
x_4 = randrange(10); y_4 = randrange(10); z_4 = randrange(10)

# Pick source to be at random location
x = randrange(1000); y = randrange(1000); z = randrange(1000)

# Set velocity
c = 299792 # km/ns

# Generate simulated source
t_1 = math.sqrt( (x - x_1)**2 + (y - y_1)**2 + (z - z_1)**2 ) / c
t_2 = math.sqrt( (x - x_2)**2 + (y - y_2)**2 + (z - z_2)**2 ) / c
t_3 = math.sqrt( (x - x_3)**2 + (y - y_3)**2 + (z - z_3)**2 ) / c
t_4 = math.sqrt( (x - x_4)**2 + (y - y_4)**2 + (z - z_4)**2 ) / c

print('Actual:', x, y, z)

myVertexer = Vertexer([[x_1, y_1, z_1],[x_2, y_2, z_2],[x_3, y_3, z_3],[x_4, y_4, z_4]])
solution = myVertexer.find([t_1, t_2, t_3, t_4])
print(solution)

Answer 1

似乎Bancroft方法适用于此问题？这是一个纯NumPy实现。

# Implementation of the Bancroft method, following
# https://gssc.esa.int/navipedia/index.php/Bancroft_Method
M = np.diag([1, 1, 1, -1])


def lorentz_inner(v, w):
    return np.sum(v * (w @ M), axis=-1)


B = np.array(
    [
        [x_1, y_1, z_1, c * t_1],
        [x_2, y_2, z_2, c * t_2],
        [x_3, y_3, z_3, c * t_3],
        [x_4, y_4, z_4, c * t_4],
    ]
)
one = np.ones(4)
a = 0.5 * lorentz_inner(B, B)
B_inv_one = np.linalg.solve(B, one)
B_inv_a = np.linalg.solve(B, a)
for Lambda in np.roots(
    [
        lorentz_inner(B_inv_one, B_inv_one),
        2 * (lorentz_inner(B_inv_one, B_inv_a) - 1),
        lorentz_inner(B_inv_a, B_inv_a),
    ]
):
    x, y, z, c_t = M @ np.linalg.solve(B, Lambda * one + a)
    print("Candidate:", x, y, z, c_t / c)