我正在玩 Mandelbrot 和 Julia 集，我遇到了有趣的问题。 Mandelbrot 集可以以 double 渲染，直到在任何地方缩放约 2^56。但是，Julia 集有时会更快地产生伪像，例如 2^20 左右的缩放(见下图)。
有趣的是，这仅发生在某些区域，但图像的其余部分还可以，您甚至可以继续放大。这通常发生在簇的中心和原点 [0,0] 附近。
坐标
我没有上图的坐标，但可以在此处找到另一个坐标(如下图):
任意精度
以任意精度运行代码似乎有帮助，但只有一点点。 82 位的任意精度比 double 更好，但 232 位与 82 完全相同。也许我的实现有缺陷？唯一精度较低的数字是取自 Mandelbrot 集合的参数 C，它具有在设置的深度捕获它所需的精度 - 我认为这并不重要，因为添加额外的零来使精度高不会改变结果。计算结果的直接变量都是高精度的。
double :
任意精度 82 位:
任意精度 232 位:
代码
这是我代码的核心(省略了不必要的部分):
public void UberCompute(UberComplex origin, UberComplex size,
UberComplex initialCoord, int maxIters, double[,] result,
ref bool stop) {
int wid = result.GetLength(1);
int hei = result.GetLength(0);
int area = wid * hei;
int precision = Math.Max(origin.Precision,
initialCoord == null ? 0 : initialCoord.Precision);
UberComplex coord = new UberComplex(precision);
UberComplex step = new UberComplex(precision);
UberFloat.Div(step.Re, size.Re, wid);
UberFloat.Div(step.Im, size.Im, hei);
UberFloat imed1 = new UberFloat(precision);
UberFloat imed2 = new UberFloat(precision);
UberFloat imed3 = new UberFloat(precision);
for (int y = 0; y < hei; ++y) {
// double yt = (double)y / hei;
// double im = origin.Im + yt * size.Im;
UberFloat.Mul(imed1, step.Im, y);
UberFloat.Add(coord.Im, imed1, origin.Im);
if (stop) {
break;
}
for (int x = 0; x < wid; ++x) {
// double xt = (double)x / wid;
// Complex coord = new Complex(origin.Re + xt * size.Re, im);
UberFloat.Mul(imed1, step.Re, x);
UberFloat.Add(coord.Re, imed1, origin.Re);
result[y, x] = UberIterate(initialCoord ?? coord,
coord, maxIters, smooth, imed1, imed2, imed3);
}
}
}
public double UberIterate(UberComplex coord, UberComplex initialCoord, int maxIters,
UberFloat imed1, UberFloat imed2, UberFloat imed3) {
Contract.Requires(imed1.Precision == initialCoord.Precision);
Contract.Requires(imed2.Precision == initialCoord.Precision);
Contract.Requires(imed3.Precision == initialCoord.Precision);
int precision = coord.Precision;
UberFloat re = new UberFloat(precision, initialCoord.Re);
UberFloat im = new UberFloat(precision, initialCoord.Im);
int i = 0;
do {
// re * re + im * im > maxRadiusSq
UberFloat.Mul(imed1, re, re);
UberFloat.Mul(imed2, im, im);
UberFloat.Add(imed3, imed1, imed2);
if (imed3 > MAX_RADIUS_SQ) {
break;
}
// newRe = re * re - im * im + coord.Re;
UberFloat.Sub(imed3, imed1, imed2);
UberFloat.Add(imed1, imed3, coord.Re);
// im = 2.0 * re * im + coord.Im;
UberFloat.Mul(imed2, re, im);
UberFloat.Mul(imed3, imed2, 2);
UberFloat.Add(im, imed3, coord.Im);
// re = newRe;
UberFloat.Swap(re, imed1);
} while (++i < maxIters);
if (i == maxIters) {
return Double.NaN; // Did not diverged.
}
return i;
}
其他软件
我已经测试过 Ultra Fractal，它也有这个问题:
最佳答案
前段时间我开始渲染几个像 Julia 集这样的分形，现在我发现了同样的现象。
由于您的问题很老，我不确定您是否仍然对此感兴趣，但我会尽力解释。
您已经假设它与浮点表示的限制有关，这是正确的。
浮点表示意味着范围和精度之间的权衡，如 Wikipedia 中所述。 .
您可以看到，可表示的数字的数量级越大，它们之间的距离就越远。
(我不能详细介绍，因为我不是数学人。)
因此，可能有三个不同的数字 a、b 和 c 可以表示为浮点数
在哪里
这正是发生的情况，尤其是在围绕原点迭代此 Julia 集的函数时。
为了证明这一点，我从你的第一张图像中取了两个坐标 p 和 q (它似乎是围绕 x 轴镜像的)
并将它们用作算法的初始值:
p and q choosen from your first image
在第一次迭代时，我得到了这个(使用 double ):
p² = (1.5961686010731998e-16, 2.86599072247578e-16)
p² + c = (-0.8010305963111505, 0.15649513879353122)
q² = (7.045757736826799e-17, 2.7402049776942403e-16)
q² + c = (-0.8010305963111505, 0.15649513879353122)
你有它。在第一次迭代时，数字变得相同。
请注意，像 10^(-8) 这样的平方数会导致更小的数字，例如 10^(-16)，这使得错误更加突出。
我还发现了其他离原点更远的初始值，并且在一些迭代后也使算法表现相同，并编写了一个小 Haskell 程序来进行计算:
import System.Environment
import Data.Complex
import Control.Monad
import Text.Read
main = do
args <- getArgs
case processArgs args of
Just (c, z, r) -> do
putStrLn $ "c = " ++ show c
putStrLn $ "z = " ++ show z
putStrLn $ "escape radius = " ++ show r
printIteration `mapM_` juliaSequence c z r
Nothing -> putStrLn "Invalid argument format"
processArgs :: [String] -> Maybe (Complex Double, Complex Double, Double)
processArgs args = do
when (length args /= 5) Nothing
[cRe, cIm, zRe, zIm, r] <- readMaybe `mapM` args
return (cRe :+ cIm, zRe :+ zIm, r)
juliaSequence c z r = (takeWhile inEscapeRadius . tail . iterate julia) (-1, 0, 0, z) where
julia (nMinus1, _, _, z) = (nMinus1 + 1, z, z2, z2 + c) where z2 = z * z
inEscapeRadius (_, z, _, _) = magnitude z < r
printIteration (n, z, z2, z2PlusC) = do
putStrLn $ "\nn := " ++ show n
putStrLn $ "z = " ++ show z
putStrLn $ "z^2 = " ++ show z2
putStrLn $ "z^2 + c = " ++ show z2PlusC
> runhaskell DebugJuliaSet.hs -8.01030596311150589e-01 1.56495138793530941e-01 1.2353312256782e-2 -1.4127067356406e-2 2
...
n := 123
z = (-0.23523642439355696) :+ (-0.1401978675009405)
z^2 = 3.568073330965438e-2 :+ 6.595929011704581e-2
z^2 + c = (-0.7653498630014962) :+ 0.22245442891057676
...
> runhaskell DebugJuliaSet.hs -8.01030596311150589e-01 1.56495138793530941e-01 1.2353312257859e-2 -1.4127067356414e-2 2
...
n := 123
z = (-0.23523642439355696) :+ (-0.14019786750094054)
z^2 = 3.5680733309654364e-2 :+ 6.595929011704584e-2
z^2 + c = (-0.7653498630014962) :+ 0.22245442891057676
...
并且数字在相同数量的迭代后通过逃逸半径。
这是这与 Mandelbrot 集的功能之间的关键区别。
在 Julia 集合中，像素坐标只影响算法的初始化，
而在 Mandelbrot 集合中，像素值会影响 C，它会在每次迭代中添加。
因此，相似的值更有可能采用不同的路径，因此通过逃逸半径的迭代次数也不同。
我能想到的解决这个问题的唯一方法是使用更高精度的数据类型
使用 C++ 渲染这个分形时，我尝试了
__float128和 long double在我的情况下，我猜有 80Bits。程序变得更慢，但伪影似乎只在更深的变焦下才会出现。
Rendering with double in C++ - Center: (0, 0); Zoom: 17665391; Iterations: 2283
Rendering with long double in C++ - Center: (0, 0); Zoom: 17665391; Iterations: 2283
Rendering with long double in C++ - Center: (0, 0); Zoom: 879474690; Iterations: 2283
在您的情况下，这似乎效果不佳，您的包装器似乎有缺陷。
您如何准确地表示自定义数据类型中的值？
也许你也可以考虑使用 Decimal来自.NET:
我希望，现在对你来说事情更清楚了。
关于fractals - Julia 集渲染中出现意外错误，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/25986780/