kotlin - 具有给定精度的Pi的Leibniz公式

Question

我被要求使用Leibniz公式以给定的精度(eps)计算Pi的Pi编号。
该公式如下所示:

最初，我编写了以下代码:

fun main() {
    val eps = 0.005
    var n = 2
    var r = row(n) // current row
    var r0 = row(n-1)
    var s = r0 + r
    
    while (Math.abs(r) > eps) {
        n++
        r = row(n)
        s += r
    }
    println(r.toString() + " <-- Leibniz(" + n.toString() + ")")
    println(Math.abs(s*4).toString() + " <-- our evaluation with eps")
    println(Math.PI.toString() + " <-- real Pi")
    println((Math.abs(s*4)) in (Math.PI-eps..Math.PI+eps))
}

fun row(n: Int) = ((Math.pow(-1.0, n.toDouble()))/(2*n-1))

然后我发现它无法正常工作，因为println((Math.abs(s*4)) in (Math.PI-eps..Math.PI+eps))打印false。
我更深入地进行了调试，并意识到如果while (Math.abs(r) > eps/2)过度while (Math.abs(r) > eps)一切正常。
有人可以提供关于我做错了什么或为什么我必须将eps除以2的任何解释(如果正确)。
谢谢。

Answer 1

由于r_i，该系列中的每个词sum(r_0, .., r_n) = PI/4都加起来等于PI的4倍。因此，当然，当您在第一个r_i <= eps处停止时，这仅意味着sum(r_0, ..., r_(i-1))具有eps的累计内容，即它位于[PI/4 - eps/2, PI/4 + eps/2]之间。但是PI本身就是4*sum，因此精度当然是4*eps，即近似值位于[PI-2*eps ,PI+2*eps]之间
对于eps = 0.005的值:

第一个r_100 = 0.00497512...是第一个r <= eps

sum(r0, ..., r_99) = 0.782829，因此此时的PI近似为3.1315929

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另外，您实际上正在计算-PI，因为正在翻转系列中每个术语的符号。因此，您在代码中称r0(它应称为r1，因为它是row(1)的结果)是-1而不是+1