在大O表示法中,我们总是说在大多数情况下我们应该忽略常数因子。也就是说,而不是写作,
3n^2-100n+6
我们几乎总是满意
n^2
因为该项是等式中增长最快的项。
但是我发现很多算法类(class)开始比较函数与许多术语
2n^2+120n+5 = n^2 的大 O
然后为这些长函数找到 c 和 n0,然后建议最终忽略低阶项。
我的问题是,通过尝试理解和分析这些带有许多术语的函数,我会得到什么?在这个月之前,我已经能够轻松理解 O(1)、O(n)、O(LOG(n))、O(N^3) 的含义。但是,如果我只依赖这个常用的函数,我是否会错过一些重要的概念?如果我跳过分析这些长函数,我会错过什么?
最佳答案
首先让我们描述一下 f(n) is in O(g(n))
的含义。 :
... we can say that f(n) is O(g(n)) if we can find a constant c such that f(n) is less than c·g(n) or all n larger than n0, i.e., for all n>n0.
在方程中:我们需要找到一组满足条件的常量(c, n0)
f(n) < c · g(n), for all n > n0, (+)
现在,结果是f(n) is in O(g(n))
有时以不同的形式呈现,例如如f(n) = O(g(n))
或f(n) ∈ O(g(n))
,但声明是一样的。因此,从你的问题来看,声明 2n^2+120n+5 = big O of n^2
只是:
f(n) = 2n^2 + 120n + 5
a result after some analysis: f(n) is in O(g(n)), where
g(n) = n^2
好吧,抛开这个问题,我们看看我们想要渐近分析的函数中的常数项,然后让我们从教育角度来看它,但是使用您的示例。
由于任何大 O 分析的结果都是函数的渐近行为,因此除了一些非常不寻常的情况外,常数项对此行为没有任何影响。然而,常数因子会影响如何选择常数对 (c, n0),用于表明对于某些函数 f(n) 和 g(n),f(n) 的复杂度为 O(g(n)),即,非唯一常数对 (c, n0) 用于表明 (+) 成立。我们可以说常数项不会影响我们的分析结果,但它会影响我们对此结果的推导。
让我们看看您的函数以及另一个相关函数
f(n) = 2n^2 + 120n + 5 (x)
h(n) = 2n^2 + 120n + 22500 (xx)
使用与 this thread 类似的方法,对于f(n)
,我们可以显示:
linear term:
120n < n^2 for n > 120 (verify: 120n = n^2 at n = 120) (i)
constant term:
5 < n^2 for e.g. n > 3 (verify: 3^2 = 9 > 5) (ii)
这意味着如果我们替换 120n
以及 5
在 (x) 中 n^2
我们可以得出以下不等式结果:
Given that n > 120, we have:
2n^2 + n^2 + n^2 = 4n^2 > {by (ii)} > 2n^2 + 120n + 5 = f(n) (iii)
从(iii)中,我们可以选择(c, n0) = (4, 120)
,并且 (iii) 然后表明这些常数满足 (+) f(n)
与 g(n) = n^2
,因此
result: f(n) is in O(n^2)
现在,对于 h(n)
,我们类似地有:
linear term (same as for f(n))
120n < n^2 for n > 120 (verify: 120n = n^2 at n = 120) (I)
constant term:
22500 < n^2 for e.g. n > 150 (verify: 150^2 = 22500) (II)
在本例中,我们替换 120n
以及 22500
在 (xx) n^2
,但我们需要对 n 进行更大的小于约束才能使它们成立,即 n > 150
。因此,我们有以下观点:
Given that n > 150, we have:
2n^2 + n^2 + n^2 = 4n^2 > {by (ii)} > 2n^2 + 120n + 5 = h(n) (III)
与 f(n)
相同,我们可以在这里选择(c, n0) = (4, 150)
,并且 (III) 然后表明这些常数满足 (+) h(n)
,与 g(n) = n^2
,因此
result: h(n) is in O(n^2)
因此,函数 f(n) 和 h(n) 的结果相同,但我们必须使用不同的常数 (c,n0) 来显示这些结果(即,推导有些不同)。最后请注意:
- 自然地,常数 (c,n0) = (4,150)(用于 h(n) 分析)也有效地表明 f(n) 在 O(n^2) 中,即 (+) 成立对于 f(n) 且 g(n)=n^2。
- 但是,反之亦然:(c,n0) = (4,120) 不能用于证明 (+) 对于 h(n) 成立(其中 g(n)=n^2)。
本次讨论的核心是:
- 只要您查看足够大的
n
值,您将能够将关系中的常数项描述为constant < dominantTerm(n)
,在我们的示例中,我们查看与主导项n^2
的关系。 - 函数的渐近行为(除了一些非常不寻常的情况外)不会依赖于常数项,因此我们最好完全跳过它们。然而,为了对某些函数的渐近行为进行严格证明,我们还需要考虑常数项。
关于big-o - 大 O 表示法中低阶项的作用,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/34421620/