haskell - 在范畴论中，两个空集可以同构吗？

Question

我是一个Haskell初学者，我想创建一个函数来确定两个列表之间是否可以存在同构。我认为如果它们的长度相同 > 0，那么答案是肯定的。

但是空集又如何呢？空集之间可以存在同构吗？

谢谢。

Answer 1

在 Haskell 中，我们通常将类型视为类别中的对象，而不是单个值。询问列表(值)是否与其他列表同构是没有意义的，除非我们定义一个“自定义”类别，其中列表是对象。在后一种情况下，答案取决于我们如何定义类别。

无论如何，在集合范畴中，给定任何集合 A，空集合中都存在一个函数(态射)f : {} -> A {} 到 A。这是具有空域的唯一函数，恰好与空集重合。为了帮助理解这一点，请回想一下函数 f : X -> Y 是一组对

f = {(x0,y0),(x1,y1),....}
  with x0,x1,... in X, and y0,y1,... in Y

这样

for any x in X there is a unique y in Y satisfying (x,y) in f

当X = {}时，我们无法在X中选择x0,x1,...，因此唯一的选择是让f = { }，“空对集合”。 f 是一个函数，因为条件简化为

for any x in {} .......

这是一个空洞的真理，因为对空集的通用量化总是正确的。

因此，对于任何 A 都只有一个函数 f : {} -> A。即使 A = {} 也是如此，在这种情况下 f : {} -> {} 也是同构。事实上，我们有 f = id (因为没有其他函数!)和 f 。 f = f = id (因为没有其他函数!)，所以 f 是它自己的逆函数。