php - 如何检查经度/纬度点是否在坐标范围内？

Question

我有许多构成多边形区域的经度和纬度坐标。我还有一个经度和纬度坐标来定义车辆的位置。如何检查车辆是否位于多边形区域内？

Answer 1

这本质上是 Point in polygon球面上的问题。您可以修改光线转换算法，使其使用大圆弧而不是线段。

1. 对于构成多边形的每对相邻坐标，在它们之间绘制一个大圆段。
2. 选择一个不在多边形区域内的引用点。
3. 绘制一个从引用点开始到车辆点结束的大圆弧段。计算此线段穿过多边形线段的次数。如果总次数为奇数，则车辆在多边形内。如果偶数，则车辆在多边形之外。

或者，如果坐标和车辆靠得足够近，并且不靠近两极或国际日期变更线，您可以假装地球是平的，并使用经度和纬度作为简单的 x 和 y 坐标。这样，您就可以使用具有简单线段的光线转换算法。如果您对非欧几里德几何不满意，这是更可取的，但您的多边形边界周围会有一些变形，因为圆弧会变形。

编辑:关于球体上几何的更多内容。

一个大圆可以通过垂直于圆所在平面的矢量来识别(又名，normal vector)

class Vector{
    double x;
    double y;
    double z;
};

class GreatCircle{
    Vector normal;
}

任何两个不是 antipodal 的纬度/经度坐标恰好共享一个大圆圈。要找到这个大圆，请将坐标转换为穿过地球中心的直线。 cross product这两条线的法向量是坐标大圆的法向量。

//arbitrarily defining the north pole as (0,1,0) and (0'N, 0'E) as (1,0,0)
//lattidues should be in [-90, 90] and longitudes in [-180, 180]
//You'll have to convert South lattitudes and East longitudes into their negative North and West counterparts.
Vector lineFromCoordinate(Coordinate c){
    Vector ret = new Vector();
    //given:
    //tan(lat) == y/x
    //tan(long) == z/x
    //the Vector has magnitude 1, so sqrt(x^2 + y^2 + z^2) == 1
    //rearrange some symbols, solving for x first...
    ret.x = 1.0 / math.sqrt(tan(c.lattitude)^2 + tan(c.longitude)^2 + 1);
    //then for y and z
    ret.y = ret.x * tan(c.lattitude);
    ret.z = ret.x * tan(c.longitude);
    return ret;
}

Vector Vector::CrossProduct(Vector other){
    Vector ret = new Vector();
    ret.x = this.y * other.z - this.z * other.y;
    ret.y = this.z * other.x - this.x * other.z;
    ret.z = this.x * other.y - this.y * other.x;
    return ret;
}

GreatCircle circleFromCoordinates(Coordinate a, Coordinate b){
    Vector a = lineFromCoordinate(a);
    Vector b = lineFromCoordinate(b);
    GreatCircle ret = new GreatCircle();
    ret.normal = a.CrossProdct(b);
    return ret;
}

两个大圆相交于球体上的两点。圆的叉积形成一个通过这些点之一的向量。该矢量的对映体穿过另一个点。

Vector intersection(GreatCircle a, GreatCircle b){
    return a.normal.CrossProduct(b.normal);
}

Vector antipode(Vector v){
    Vector ret = new Vector();
    ret.x = -v.x;
    ret.y = -v.y;
    ret.z = -v.z;
    return ret;
}

大圆线段可以用通过线段起点和终点的向量表示。

class GreatCircleSegment{
    Vector start;
    Vector end;
    Vector getNormal(){return start.CrossProduct(end);}
    GreatCircle getWhole(){return new GreatCircle(this.getNormal());}
};

GreatCircleSegment segmentFromCoordinates(Coordinate a, Coordinate b){
    GreatCircleSegment ret = new GreatCircleSegment();
    ret.start = lineFromCoordinate(a);
    ret.end = lineFromCoordinate(b);
    return ret;
}

您可以使用 dot product 测量大圆弧段的弧长或任意两个向量之间的角度.

double Vector::DotProduct(Vector other){
    return this.x*other.x + this.y*other.y + this.z*other.z;
}

double Vector::Magnitude(){
    return math.sqrt(pow(this.x, 2) + pow(this.y, 2) + pow(this.z, 2));
}

//for any two vectors `a` and `b`, 
//a.DotProduct(b) = a.magnitude() * b.magnitude() * cos(theta)
//where theta is the angle between them.
double angleBetween(Vector a, Vector b){
    return math.arccos(a.DotProduct(b) / (a.Magnitude() * b.Magnitude()));
}

您可以通过以下方式测试大圆线段a 是否与大圆b 相交:

• 找到向量 c，a 的整个大圆与 b 的交点。
• 找到向量 d，c 的对映体。
• 如果 c 位于 a.start 和 a.end 之间，或者 d 位于 之间a.start 和a.end，然后a 与b 相交。

//returns true if Vector x lies between Vectors a and b.
//note that this function only gives sensical results if the three vectors are coplanar.
boolean liesBetween(Vector x, Vector a, Vector b){
    return angleBetween(a,x) + angleBetween(x,b) == angleBetween(a,b);
}

bool GreatCircleSegment::Intersects(GreatCircle b){
    Vector c = intersection(this.getWhole(), b);
    Vector d = antipode(c);
    return liesBetween(c, this.start, this.end) or liesBetween(d, this.start, this.end);
}

两个大圆线段 a 和 b 在以下情况下相交:

• a 与b 的整个大圆相交
• b 与a 的整个大圆相交

bool GreatCircleSegment::Intersects(GreatCircleSegment b){
    return this.Intersects(b.getWhole()) and b.Intersects(this.getWhole());
}

现在您可以构建多边形并计算引用线经过多边形的次数。

bool liesWithin(Array<Coordinate> polygon, Coordinate pointNotLyingInsidePolygon, Coordinate vehiclePosition){
    GreatCircleSegment referenceLine = segmentFromCoordinates(pointNotLyingInsidePolygon, vehiclePosition);
    int intersections = 0;
    //iterate through all adjacent polygon vertex pairs
    //we iterate i one farther than the size of the array, because we need to test the segment formed by the first and last coordinates in the array
    for(int i = 0; i < polygon.size + 1; i++){
        int j = (i+1) % polygon.size;
        GreatCircleSegment polygonEdge = segmentFromCoordinates(polygon[i], polygon[j]);
        if (referenceLine.Intersects(polygonEdge)){
            intersections++;
        }
    }
    return intersections % 2 == 1;
}