matlab - 如何在 MATLAB 中找到三个相互交叉的圆锥体的共同体积？

Question

我绘制了三个在特定高度相互相交的圆锥体。我需要找出路口的共同体积，但我无法弄清楚! MATLAB中有没有内置函数可以计算感兴趣的体积？我还想突出显示颜色更深的区域。有什么建议吗？

绘制的图片如下所示:

问候， 传统知识

Answer 1

我将用类似的三重交集来说明原理，用圆柱体代替两个圆锥体。 (此外，我不是在回答有关着色的问题。请每个问题一个问题。)

假设我想要圆锥 z=x^2+y^2、圆柱 x^2+(z-2)^2=1 和圆柱 y^2+(z-2)^2 = 1. 圆锥仅从下方限制实体。圆柱体可以从顶部和底部完成:求解它们的 z 方程给出两个值，顶部和底部。

点 (x,y) 上的实体的垂直尺寸可以找到为

max(0, min(all tops) - max(all bottoms))

具体来说:

vcone = @(x,y) sqrt(x.^2+y.^2);          % cone, bottom only 
c1top = @(x,y) 2+sqrt(max(0,1-x.^2));    % 1st cylinder, top part
c1bot = @(x,y) 2-sqrt(max(0,1-x.^2));    % 1st cylinder, bottom part
c2top = @(x,y) 2+sqrt(max(0,1-y.^2));    % 2nd cylinder, top part
c2bot = @(x,y) 2-sqrt(max(0,1-y.^2));    % 2nd cylinder, bottom part

height = @(x,y) max(0, min(c1top(x,y),c2top(x,y)) - max(vcone(x,y),max(c1bot(x,y),c2bot(x,y))));  

integral2(height, -1, 1, -1, 1)

输出 5.3333。

请注意，sqrt(max(0,...)) 用于防止 Matlab 在平方根的内容为负数的情况下获取复数。这很有用，因为积分的限制(上面的 -1,1,-1,1)通常对应于投影到 xy 平面的一些边界矩形，因此在这个矩形内，一些公式可能没有真正定义。例如，您可以使用

integral2(height, -2, 2, -2, 2)

为了得到相同的结果，尽管当 |x| 时圆柱体的方程式不成立了或 |y|超过 1。