computational-geometry - 如何确定半球的点x-y-z坐标？

Question

我在解决下图所示的问题时遇到了严重问题。
假设我们在3D空间中有3个点(蓝色点)，并基于这些点有一个三角形的中心(红色点-点P)。我们还有这个三角形的法线，因此我们知道我们在谈论哪个半空间。

我需要确定一个点(红色???点)上取决于两个角度(都在0-180度范围内)的位置是什么。无论如何“固定” alfa = 0和betha = 0的角度，能够扫描整个半球(半径为r)仅是重要的。

http://i.stack.imgur.com/a1h1B.png

如果有人可以帮助我，我将非常感激。

亲切的问候，
拉夫

Answer 1

从图中看起来，该点在球体上的位置似乎由spherical coordinates形式给出。令r为球体的半径；让alpha相对于x轴给出；并将beta设为相对于x-y平面的角度。球上点的笛卡尔坐标为:

x = r * cos(beta) * cos(alpha)
y = r * cos(beta) * sin(alpha)
z = r * sin(beta)

编辑

但是，对于以(L, M, N)为轴，以(X, Y, Z)为中心的轴的一般坐标系而言，坐标是(如dmuir的回答):

(x, y, z) = 
   (X, Y, Z) 
   + r * cos(beta) * cos(alpha) * L 
   + r * cos(beta) * sin(alpha) * M 
   + r * sin(beta) * N

轴L和N必须正交且M = cross(N, L)。相对于alpha给出了L，并且相对于beta-L平面给出了M。如果您不知道L与三角形的点之间的关系，则无法回答该问题。