问题是关于Observational Type Theory的.
考虑这个设置:
data level : Set where
# : ℕ -> level
ω : level
_⊔_ : level -> level -> level
# α ⊔ # β = # (α ⊔ℕ β)
_ ⊔ _ = ω
_⊔ᵢ_ : level -> level -> level
α ⊔ᵢ # 0 = # 0
α ⊔ᵢ β = α ⊔ β
mutual
Prop = Univ (# 0)
Type = Univ ∘ # ∘ suc
data Univ : level -> Set where
bot : Prop
top : Prop
nat : Type 0
univ : ∀ α -> Type α
σ≡ : ∀ {α β γ} -> α ⊔ β ≡ γ -> (A : Univ α) -> (⟦ A ⟧ -> Univ β) -> Univ γ
π≡ : ∀ {α β γ} -> α ⊔ᵢ β ≡ γ -> (A : Univ α) -> (⟦ A ⟧ -> Univ β) -> Univ γ
πᵤ : ∀ {α} -> (A : Univ α) {k : ⟦ A ⟧ -> level} -> (∀ x -> Univ (k x)) -> Univ ω
⟦_⟧ : ∀ {α} -> Univ α -> Set
⟦ bot ⟧ = ⊥
⟦ top ⟧ = ⊤
⟦ nat ⟧ = ℕ
⟦ univ α ⟧ = Univ (# α)
⟦ σ≡ _ A B ⟧ = Σ ⟦ A ⟧ λ x -> ⟦ B x ⟧
⟦ π≡ _ A B ⟧ = (x : ⟦ A ⟧) -> ⟦ B x ⟧
⟦ πᵤ A B ⟧ = (x : ⟦ A ⟧) -> ⟦ B x ⟧
prop = univ 0
type = univ ∘ suc
我们有一个分层的宇宙层次结构:Prop : Type 0 : Type 1 : ...
(其中 Prop
是非谓语),Σ- 和 Π 的代码-types 和一个附加代码 πᵤ
用于“宇宙多态 π-types”。就像在 Agda 中 ∀ α -> Set α
具有 [the hidden] 类型 Setω
,π nat univ
具有类型 Univ ω
.
有一些捷径
_&_ : ∀ {α β} -> Univ α -> Univ β -> Univ (α ⊔ β)
A & B = σ A λ _ -> B
_⇒_ : ∀ {α β} -> Univ α -> Univ β -> Univ (α ⊔ᵢ β)
A ⇒ B = π A λ _ -> B
_‵π‵_ : ∀ {α β} -> (A : Univ α) -> (⟦ A ⟧ -> Univ β) -> Univ (α ⊔ᵢ β)
_‵π‵_ = π
_‵πᵤ‵_ : ∀ {α} -> (A : Univ α) {k : ⟦ A ⟧ -> level} -> (∀ x -> Univ (k x)) -> Univ ω
_‵πᵤ‵_ = πᵤ
我们可以使用目标语言结构定义许多函数,例如
_≟ₚ_ : ⟦ nat ⇒ nat ⇒ prop ⟧
zero ≟ₚ zero = top
suc n ≟ₚ suc m = n ≟ₚ m
_ ≟ₚ _ = bot
在一种虚构的语言中,我们可以识别代码和相应的类型,从而形成一个封闭的自反宇宙(我们还需要一些数据类型的一阶表示,但那是另一回事了)。但是考虑通常的类型相等:
Eq : ∀ {α β} -> Univ α -> Univ β -> Prop
如何将其嵌入到目标语言中?我们可以写
EqEmb : ⟦ (nat ‵πᵤ‵ λ α → nat ‵πᵤ‵ λ β → univ α ⇒ univ β ⇒ prop) ⟧
但请注意,目标语言不包含有关 ω
的任何内容。在 Eq
中,我们可以像这样对参数进行模式匹配:
Eq (πᵤ A₁ B₁) (πᵤ A₂ B₂) = ...
α
和 β
都变成了 ω
一切正常。但是在 EqEmb
中我们不能这样进行模式匹配,因为在 univ α
中 α
是一个数字,不能是 ω
,所以 ⟦ univ α ⟧
永远不会是 Univ ω
。
假设我们可以在普通 Agda 类型上进行模式匹配。然后我们可以编写一个函数来确定某个值是否是一个函数:
isFunction : ∀ {α} {A : Set α} -> A -> Bool
isFunction {A = Π A B} _ = true
isFunction _ = false
但是,如果 B
是“宇宙相关的”并且具有,比方说,这种类型:∀ α -> Set α
怎么办?那么 Π A B
的类型是 Setω
并且 α
与 ω
统一。但是如果我们可以用 ω
实例化水平变量,那么我们可以写出类似的东西
Id : Set ω
Id = ∀ α -> (A : Set α) -> A -> A
id : Id
id α A x = x
id ω Id id ~> id
这是非谓语(尽管我不知道这种特殊形式的非谓语是否会导致不一致。是吗?)。
所以我们不能将 ω
作为目标语言的合法级别,并且我们不能在存在“宇宙依赖”的情况下对 Set α
进行模式匹配职能。因此“自反”平等
EqEmb : ⟦ (nat ‵πᵤ‵ λ α → nat ‵πᵤ‵ λ β → univ α ⇒ univ β ⇒ prop) ⟧
没有为所有宇宙多态函数定义(不是“宇宙相关”)。例如。 map
map : ∀ {α β} {A : Set α} {B : Set β} -> (A -> B) -> List A -> List B
是Setω
,我们不能问是否Eq (typeOf emb-map) (typeOf emb-map)
,因为在Eq A B
A
的类型是⟦ univ α ⟧
,这是一个“有限”宇宙(B
也是如此)。
那么是否有可能以一种类型良好的方式将 OTT 嵌入到自身中?如果没有,我们能以某种方式作弊吗?我们能否在“宇宙相关”函数存在的情况下对 Set α
进行模式匹配,就像一切都很好一样?
最佳答案
我最终得到了以下层次结构:
Prop : Type 0 : Type 1 : ...
(∀ α -> Type α) : Type ω₀ : Type ω₁
没有Type ω₁
的代码,因为之前没有Type ω₀
的代码,但是我们需要一个Type ω₀
的代码来能够定义全域多态函数的相等性,类型 ω₁
的代码用处不大。
现在我们有四个宇宙相关量词
σ₀ π₀ : {α : Lev false}
-> (A : Univ α) {k : ⟦ A ⟧ -> Lev false} -> (∀ x -> Univ (k x)) -> Univ {false} ω₀
σ₁ π₁ : ∀ {a} {α : Lev a}
-> (A : Univ α) {b : ⟦ A ⟧ -> Bool} {k : ∀ x -> Lev (b x)}
-> (∀ x -> Univ (k x))
-> Univ ω₁
关键是现在可以在 π₀
上进行模式匹配,从而允许定义宇宙多态函数的相等性,但不可能在 π₁
上进行模式匹配(就像以前一样π₀
被称为 πᵤ
),我们可以接受。
等式有这些“自反”类型:
mutual
Eq : ⟦ (π₁ lev λ α -> π₁ lev λ β -> univ⁺ α ⇒ univ⁺ β ⇒ prop) ⟧
eq : ⟦ (π₁ lev λ α -> π₁ lev λ β -> π (univ⁺ α) λ A -> π (univ⁺ β) λ B -> A ⇒ B ⇒ prop) ⟧
密码是here .然而,看起来我需要再次扩展层次结构才能证明一致性。我会问一个问题。
关于agda - OTT 中的 self 表示和宇宙,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/34107514/