sympy - 如何在 SymPy 中求解这个由两个方程组成的系统？

Question

我有这个功能:

f(x) = 1 / (x + a)^t + b

我想为 a 和 b 求解给定的 t 方程组 {f(0)= 1 和 f(1)=0}。

对于 t=1，成功计算出一个解:

import sympy as sp
a,b = sp.symbols("a b")
res = sp.solve([1/(a+1)**1 +b, 1/a**1+b-1], [a,b])
res
# [(-1/2 + sqrt(5)/2, -sqrt(5)/2 + 1/2), (-sqrt(5)/2 - 1/2, 1/2 + sqrt(5)/2)]

但对于除 1 以外的任何 t(大多数情况下也是 2)，找不到解决方案:

import sympy as sp
a,b = sp.symbols("a b")
res = sp.solve([1/(a+1)**1.5 +b, 1/a**1.5+b-1], [a,b])
res

给出:

NotImplementedError: could not solve 
b*(-(1 + sqrt(3)*I)*(1/(b**2 - 2*b + 1))**(1/3)/2 + 1)**(3/2) + 1

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是否可以从更有效的角度在 SymPy 中解决这个问题？

我们也非常欢迎对有助于解决此问题的 Python 包提出建议。

Answer 1

你对 t 做了什么假设？ 您当然可以使用例如数值求解非线性方程组scipy.optimize.root.

我写了一个实验包pyneqsys当你从符号表达式开始时帮助解决这个问题。在您的情况下，我将按如下方式使用它:

>>> import sympy as sp
>>> from pyneqsys.symbolic import SymbolicSys
>>> a, b, t = sp.symbols('a b t')
>>> f = lambda x: 1/(x+a)**t + b
>>> neqsys = SymbolicSys([a, b], [f(0) - 1, f(1) - 0], [t])
>>> ab, sol = neqsys.solve_scipy([0.5, -0.5], 1)
>>> ab, sol.success
(array([ 0.61803399, -0.61803399]), True)

您还可以在 t 从 0.5 到 3 变化时绘制结果:

>>> def solve(tval, guess=(.5, -.5)):
...     vals, sol = neqsys.solve_scipy(guess, tval)
...     assert sol.success
...     return vals
...
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> trange = np.linspace(.5, 3)
>>> plt.plot(trange, np.array([solve(t_) for t_ in trange]))