标准正态分布的概率密度函数定义为 e-x2/2/√(2π)。这可以直接呈现为 C 代码。示例单精度实现可能是:
float my_normpdff (float a)
{
return 0x1.988454p-2f * my_expf (-0.5f * a * a); /* 1/sqrt(2*pi) */
}
虽然此代码没有过早下溢,但存在准确性问题,因为计算 a2/2 时产生的误差会被后续的求幂放大。人们可以通过针对更高精度引用的测试轻松证明这一点。确切的错误将根据所使用的 exp()
或 expf()
实现的准确性而有所不同;对于忠实舍入的幂函数,人们通常会观察到最大误差约为 26 ulps 对于 IEEE-754 binary32
单精度,约为 29 ulps用于 IEEE-754 binary64
double 。
如何以合理有效的方式解决准确性问题?一种简单的方法是采用更高精度的中间计算,例如对 float
实现使用 double
计算。但是如果高精度的浮点运算不容易获得,这种方法不适用于 double
实现,如果 double
算法比 float
计算要昂贵得多,例如在许多 GPU 上。
最佳答案
问题中提出的准确性问题可以通过使用有限量的双float
或双double
计算来有效且高效地解决,由使用融合乘加 (FMA) 运算。
此操作自 C99
起可通过标准数学函数 fmaf(a,b,c)
和 fma(a,b,c)
计算 a*b+c,没有舍入中间产品。虽然这些功能直接映射到几乎所有现代处理器上的快速硬件操作,但它们可能会在旧平台上使用仿真代码,在这种情况下它们可能会非常慢。
这允许仅使用两个操作以正常精度的两倍计算乘积,从而产生一对 native 精度数的头尾:
prod_hi = a * b // head
prod_lo = FMA (a, b, -hi) // tail
结果的高位可以传递给求幂,而低位用于通过线性插值提高结果的准确性,利用 ex 是它自己的导数:
e = exp (prod_hi) + exp (prod_hi) * prod_lo // exp (a*b)
这使我们能够消除天真实现的大部分错误。另一个较小的计算误差来源是表示常数 1/√(2π) 的精度有限。这可以通过使用提供两倍 native 精度的常量的头尾表示来改进,并计算:
r = FMA (const_hi, x, const_lo * x) // const * x
下面的论文指出,这种技术甚至可以为一些任意精度的常量产生正确的舍入乘法:
Nicolas Brisebarre 和 Jean-Michel Muller,“任意精度常数的正确舍入乘法”,IEEE 计算机交易,卷。 57,第 2 期,2008 年 2 月,第 165-174 页
结合这两种技术,并处理一些涉及 NaN 的极端情况,我们得出以下基于 IEEE-754 binary32
的 float
实现:
float my_normpdff (float a)
{
const float RCP_SQRT_2PI_HI = 0x1.988454p-02f; /* 1/sqrt(2*pi), msbs */
const float RCP_SQRT_2PI_LO = -0x1.857936p-27f; /* 1/sqrt(2*pi), lsbs */
float ah, sh, sl, ea;
ah = -0.5f * a;
sh = a * ah;
sl = fmaf (a, ah, 0.5f * a * a); /* don't flip "sign bit" of NaN argument */
ea = expf (sh);
if (ea != 0.0f) ea = fmaf (sl, ea, ea); /* avoid creation of NaN */
return fmaf (RCP_SQRT_2PI_HI, ea, RCP_SQRT_2PI_LO * ea);
}
基于 IEEE-754 binary64
的相应 double
实现看起来几乎相同,只是使用的常量值不同:
double my_normpdf (double a)
{
const double RCP_SQRT_2PI_HI = 0x1.9884533d436510p-02; /* 1/sqrt(2*pi), msbs */
const double RCP_SQRT_2PI_LO = -0x1.cbc0d30ebfd150p-56; /* 1/sqrt(2*pi), lsbs */
double ah, sh, sl, ea;
ah = -0.5 * a;
sh = a * ah;
sl = fma (a, ah, 0.5 * a * a); /* don't flip "sign bit" of NaN argument */
ea = exp (sh);
if (ea != 0.0) ea = fma (sl, ea, ea); /* avoid creation of NaN */
return fma (RCP_SQRT_2PI_HI, ea, RCP_SQRT_2PI_LO * ea);
}
这些实现的准确性分别取决于标准数学函数 expf()
和 exp()
的准确性。在 C 数学库提供这些的忠实舍入版本的情况下,上述两个实现中的任何一个的最大误差通常小于 2.5 ulps。
关于c - 使用C标准数学库精确计算标准正态分布的PDF,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/39521487/