time-complexity - 理解时间复杂度 : iterative algorithm

Question

我是新来的时间复杂性，我似乎无法理解最后得到这个背后的逻辑:

100 (n(n+1) / 2)

对于此功能:

function a() {
    int i,j,k,n;
        for(i=1; i<=n; i++) {
            for(j=1; j<=i; j++) {
                for(k=1; k<=100; k++) {
                    print("hello");
                }
            }
        }
}

这是我如何理解它的算法:

i = 1, 2, 3, 4...n

j = 1, 2, 3, 4...(dependent to i, which can be 'n')

k = 1(100), 2(100), 3(100), 4(100)...n(100)
  = 100 [1, 2, 3, 4.....]

如果我使用上面的这个算法来模拟最终方程，我会得到这个结果:

结束方程:

100 (n(n+1) / 2)

模拟

   i = 1, 2, 3, 4... n
   j = 1, 2, 3, 4... n
   k = 100, 300, 600, 10000

我通常在 youtube 上研究这些并得到 Big O、Omega 和 Theta 的想法，但是当谈到这个时，我无法弄清楚它们如何以我给出的等式结束。请帮助，如果您有一些最佳实践，请分享。

编辑:
至于我自己对答案的假设，它认为应该是这个:

100 ((n+n)/2) or 100 (2n / 2)

来源:

https://www.youtube.com/watch?v=FEnwM-iDb2g
At around: 15:21

Answer 1

我想你有 i和 j正确，只是不清楚你为什么说 k = 100, 200, 300...在每个循环中，k来自 1至 100 .

所以让我们首先考虑一下内部循环:

        k from 1 to 100:
            // Do something

内循环是 O(100) = O(1) 因为它的运行时不依赖于 n .现在我们分析外循环:

i from 1 to n:
    j from 1 to i:
        // Do inner stuff

现在让我们数出多少次 Do inner stuff执行:

i = 1     1 time
i = 2     2 times
i = 3     3 times
 ...        ...
i = n     n times

这是我们的经典triangular sum 1 + 2 + 3 + ... n = n(n+1) / 2 .因此，外部两个循环的时间复杂度为 O(n(n+1)/2) 减少到 O(n^2) .

整个事情的时间复杂度是 O(1 * n^2) = O(n^2) 因为嵌套循环会增加复杂性(假设内循环的运行时间与外循环中的变量无关)。请注意，如果我们没有在各个阶段减少，我们将剩下 O(100(n)(n+1)/2) ，相当于 O(n^2) 因为大 O 符号的特性。

一些提示:
您要求提供一些最佳实践。以下是我在分析您发布的示例时使用的一些“规则”。

在时间复杂度分析中，我们可以忽略乘以一个常数。这就是为什么内循环仍然是 O(1) 即使它执行了 100 次。理解这一点是时间复杂度的基础。我们正在大规模分析运行时，而不是计算时钟周期数。

对于运行时相互独立的嵌套循环，只需增加复杂性即可。嵌套 O(1) 外环内部 O(N^2) 循环导致 O(N^2) 代码。

更多减法规则:http://courses.washington.edu/css162/rnash/quarters/current/labs/bigOLab/lab9.htm

如果您可以将代码分解成更小的部分(与我们分析 k 循环与外部循环相同的方式)，那么您可以利用嵌套规则来找到组合的复杂性。

关于 Omega/Theta 的说明:

Theta 是时间复杂度的“精确界限”，而 Big-O 和 Omega 分别是上限和下限。因为没有随机数据(就像在排序算法中那样)，我们可以得到时间复杂度的精确界限，并且上限等于下限。因此，在这种情况下，我们使用 O、Omega 或 Theta 没有任何区别。