haskell AD 模块 : difficulties with Mode typeclass

Question

我是 Haskell 的新手，很难理解如何让我的程序使用自动微分模块 AD 进行类型检查。

我的目标是实现一个隐式 Euler ODE 求解器，它利用牛顿法对离散方程进行数值求解。 (我试图将其推广到 ODE 系统，但对于我的问题，仅考虑一个 ODE 的情况就足够了)

我已经实现了牛顿方法如下:

import Numeric.AD
import Numeric.AD.Rank1.Forward (Forward, diff')

newton :: (Fractional a, Eq a, Ord a) => (Forward a -> Forward a) -> a -> a -> a
newton equation guess tolerance
    | abs (equation (auto guess)) < auto tolerance = guess
    | otherwise = newton equation newGuess tolerance
    where
        newGuess = guess - correction
        (y,y') = diff' equation guess
        correction = y/y'

这个功能有效，在某种意义上我可以使用它

mySqrtOfTwo = newton (\(x) -> x^2 - 2) 1 0.001

但是，如果我尝试在另一个功能中使用它，例如

impEuler f (x, y) newx = (newx, newy) 
    where
        newy = newton fDisc y 1e-3
        fDisc yUnknown = yUnknown - y + (newx - x) * (f (x,yUnknown))

我得到错误

• Occurs check: cannot construct the infinite type: b ~ Forward b
• In the second argument of ‘newton’, namely ‘y’
      In the expression: newton fDisc y 1e-3
      In an equation for ‘newy’: newy = newton fDisc y 1e-3

我想我明白为什么会出现这个错误，但我不明白为什么它只发生在 newton函数在另一个函数中使用，而不是在直接调用时使用。此外，我想知道处理这个问题的正确方法是什么。

我有想过实现功能newton稍有不同，以这样一种方式，它具有类型

newton :: (Fractional a, Eq a, Ord a) => (a -> a) -> a -> a -> a

但我不知道如何做到这一点，如果这甚至是好的风格。

为了简化问题:我知道我可以使用 auto从 a 出发至Forward a ，但我不知道如何走另一条路，如果这甚至可能。

编辑:正如@leftroundabout 建议的那样，我实现了如下功能:

impEuler :: (Double -> Forward Double -> Forward Double) -> (Double,Double) -> Double -> Double
impEuler f (x, y) newx = newy
where newy = newton fDisc y 1e-3
      fDisc :: Forward Double -> Forward Double
      fDisc yUnknown = yUnknown - realToFrac y - realToFrac (newx - x) * f x yUnknown

这要求传递给 impEuler 的 ode 也具有类型 (Double -> Forward Double -> Forward Double) ，我想避免这种情况，因为我可能决定使用显式方法(不需要牛顿法)来解决 ode。因此，我添加了功能

odePromoter :: (Double -> Double -> Double) -> (Double -> Forward Double -> Forward Double)
odePromoter ode x y = realToFrac (ode x (realToFrac y))

为了将类型 (Double -> Double -> Double) 的 ode 转换为类型 (Double -> Forward Double -> Forward Double) 之一。

Answer 1

关键是，fDisc必须能够支持自动微分。 IE。它的类型必须像 Forward Double -> Forward Double .然而，在

   fDisc yUnknown = yUnknown - y + (newx - x) * (f (x,yUnknown))

你有值y , x和 newx , 这些是简单的具体数字，可能是 Double . Haskell 从不隐式转换/提升类型，因此您需要 fDisc :: Double -> Double , 这意味着 newton无法使用它。

解决方案:允许显式提升这些值。一个标准的方法是 realToFrac .

impEuler :: (Double -> Forward Double -> Forward Double) -> (Double,Double) -> Double
impEuler f (x, y) newx = newy
 where newy = newton fDisc y 1e-3
       fDisc :: Forward Double -> Forward Double
       fDisc yUnknown = yUnknown - realToFrac y + realToFrac (newx - x) * f x yUnknown

请注意，我必须对函数 f 进行柯里化(Currying)。 ，因此它在解变量之前将时间参数单独作为常数。