list - idris 有没有相当于 Agda 的 ↔

Question

Agda 使用以下运算符来显示集合之间的逆:

_↔_ : ∀ {f t} → Set f → Set t → Set _

idris 有等价物吗？我正在尝试在列表上定义包相等

data Elem : a -> List a -> Type where
  Here  : {xs : List a} -> Elem x (x :: xs)
  There : {xs : List a} -> Elem x xs -> Elem x (y :: xs)

(~~) : List a -> List a -> Type
xs ~~ ys {a} = Elem a xs <-> Elem a ys

这样我们就可以构造l1 ~~ l2当l1和 l2以任何顺序具有相同的元素。

Agda definition of ↔ 似乎非常复杂，我不确定 Idris 标准库中是否有等效的东西。

Answer 1

Agda 背后的基本思想 ↔是用两个往返证明打包两个函数，这在 Idris 中也很容易做到:

infix 7 ~~
data (~~) : Type -> Type -> Type where
  MkIso : {A : Type} -> {B : Type} ->
          (to : A -> B) -> (from : B -> A) ->
          (fromTo : (x : A) -> from (to x) = x) ->
          (toFrom : (y : B) -> to (from y) = y) ->
          A ~~ B

您可以像在以下最小示例中一样使用它:

notNot : Bool ~~ Bool
notNot = MkIso not not prf prf
  where
    prf : (x : Bool) -> not (not x) = x
    prf True = Refl
    prf False = Refl

Agda 版本更复杂的原因是因为它也对等式的选择进行了参数化，因此它不必是命题(这是最严格/最好的)。参数化 ~~ 的 Idris 定义以上来自 =到任意PA : A -> A -> Type和 PB : B -> B -> Type留给读者作为练习。