matlab - 在matlab中计算对角分块矩阵的逆矩阵

Question

我有一个像这样的大矩阵M

M=[A1, Z,  Z,  Z,  Z,  Z ; 
   Z,  A2, Z,  Z,  Z,  Z ; 
   Z,  Z,  A3, Z,  Z,  Z ; 
   Z,  Z,  Z,  A4, Z,  Z ; 
   Z,  Z,  Z,  Z,  A5, Z ; 
   Z,  Z,  Z,  Z,  Z,  A6];

A1,A2,A3,A4,A5,A6 是 4×4 实对称矩阵，Z=zeros(4,4)。

当矩阵 A1,A2,A3,..., An 中有数百万个 A 时，如何计算 M 的倒数>?

我知道我可以将逆矩阵简化为

invM=[B1, Z,  Z,  Z,  Z,  Z 
      Z,  B2, Z,  Z,  Z,  Z 
      Z,  Z,  B3, Z,  Z,  Z 
      Z,  Z,  Z,  B4, Z,  Z 
      Z,  Z,  Z,  Z,  B5, Z 
      Z,  Z,  Z,  Z,  Z,  B6];

B1,B2,B3,B4,B5,B6 是A1,A2,A3,A4,A5,A6 的逆矩阵。但是当B很多的时候，如何进行批处理呢？

提前谢谢你。

Answer 1

坦率地说，我不会为倒数烦恼。很可能您根本不需要反转，而是您需要产品

x(n) = inv(A(n))*b(n)

其中 b 是方程 Ax = b 中的解向量。

这就是为什么这很重要:

clc

N = 4;    % Size of each A
m = 300;  % Amount of matrices

% Create sparse, block diagonal matrix, and a solution vector
C = cellfun(@(~)rand(4), cell(m,1), 'UniformOutput', false);
A = sparse(blkdiag(C{:}));
b = randn(m*N,1);


% Block processing: use inv()
tic
for ii = 1:1e3
    for jj = 1:m
        inds = (1:4) + 4*(jj-1);
        inv(A(inds,inds)) * b(inds); %#ok<MINV>
    end    
end
toc

% Block processing: use mldivide()
tic
for ii = 1:1e3
    for jj = 1:m
        inds = (1:4) + 4*(jj-1);
        A(inds,inds) \ b(inds);
    end
end
toc

% All in one go: use inv()
tic
for ii = 1:1e3
    inv(A)*b;
end
toc

% All in one go: use mldivide()
tic
for ii = 1:1e3
    A\b;
end
toc

结果:

Elapsed time is 4.740024 seconds.  % Block processing, with inv()
Elapsed time is 3.587495 seconds.  % Block processing, with mldivide()
Elapsed time is 69.482007 seconds. % All at once, with inv()
Elapsed time is 0.319414 seconds.  % All at once, with mldivide()

现在，我的 PC 与市面上的大多数 PC 略有不同，因此您可能需要重新进行此测试。但比率大致相同——计算显式逆比计算乘积 x = inv(A)*b 花费的时间要多得多。

如果您在使用 mldivide 时内存不足，您不应该遍历所有单独的矩阵，而是将问题分成更大的 block 。像这样:

chunkSize = N*100;
x = zeros(size(A,1),1);
for ii = 1:N*m/chunkSize
    inds = (1:chunkSize) + chunkSize*(ii-1);
    x(inds) = A(inds,inds) \ b(inds);
end