r - 在 R 中生成具有预定义 pdf 总和或 cdf 总和的 RNG 向量

Question

我是一个新的 R 用户，我正在尝试生成带有基于特定分布(例如使用 rnorm 命令)随机生成的数字的向量，这些向量具有预定义的概率密度总和或累积分布总和。

例如，当生成向量 x1, x2 ... xn 我希望它们服从
sum(pnorm(x1)) = sum(pnorm(x2)) = … sum(pnorm(xn))
或者
sum(pnorm(xi)) = ”fixed value”
或者用 dnorm 做同样的事情。换句话说，在 R 中使用 rnorm 或任何其他 RNG 时是否有可能设置这些参数？

对策略而不是完整解决方案的提示和建议也将不胜感激。

非常感谢您抽出宝贵时间。

Answer 1

1.
在高斯分布的情况下，
采样来自 (X1,...,Xn)在X1+...+Xn=s的条件下
只是从一个采样
conditional Gaussian distribution .

向量 (X1,X2,...,Xn,X1+...+Xn) 具有高斯分布，均值为零，
和方差矩阵

1 0 0 ... 0 1
0 1 0 ... 0 1
0 0 1 ... 0 1
...
0 0 0 ... 1 1
1 1 1 ... 1 n.

因此，我们可以从中取样如下。

s <- 1  # Desired sum
n <- 10
mu1 <- rep(0,n)
mu2 <- 0
V11 <- diag(n)
V12 <- as.matrix(rep(1,n))
V21 <- t(V12)
V22 <- as.matrix(n)
mu <- mu1 + V12 %*% solve(V22, s - mu2)
V  <- V11 - V12 %*% solve(V22,V21)
library(mvtnorm)
# Random vectors (in each row)
x <- rmvnorm( 100, mu, V )
# Check the sum and the distribution
apply(x, 1, sum)
hist(x[,1])
qqnorm(x[,1])

对于任意分布，这种方法需要您计算条件分布，这可能并不容易。

2.
还有另一个简单的特例:均匀分布。

要均匀采样总和为 1 的 n 个(正)数，
你可以取n-1个数字，
均匀地在 [0,1] 中，
并对它们进行排序:它们定义了 n 个区间，
其长度总和为 1，并且恰好是均匀分布的。

由于这些点形成泊松过程，
您还可以使用指数分布生成它们。

x <- rexp(n)
x <- x / sum(x)  # Sums to 1, and each coordinate is uniform in [0,1]

这个想法在下面的文章中有解释(有很多图片):
Portfolio Optimization for VaR, CVaR, Omega and Utility with General Return Distributions ,
(W.T. Shaw，2011 年)，第 6 至 8 页。

3.
(编辑)我最初误读了这个问题，该问题询问的是 sum(pnorm(x)) ，不是 sum(x) .事实证明这更容易。

如 X具有高斯分布，则 pnorm(X)具有均匀分布:
然后问题是从均匀分布中采样，并具有规定的总和。

n <- 10
s <- 1  # Desired sum
p <- rexp(n)
p <- p / sum(p) * s  # Uniform, sums to s
x <- qnorm(p)        # Gaussian, the p-values sum to s