apl - 为什么 APL 中的 +.x 同时适用于矩阵和向量？

Question

我确实明白，它基本上是通过加法减少了乘法运算，但有什么神奇之处，它既适用于向量又适用于矩阵。

对于矢量，我们可以做类似 +/ A x B 的事情相反，结果相同。但这不适用于矩阵，因为 x只会做一个2 2矩阵，减少它会导致 2矢量。

按照书本进行矩阵乘法，减少每个对应的 pow 和 column 乘法，将得到 2 2对向量执行相同操作时的矩阵。

那么它是如何工作的呢？

Answer 1

内积可以定义为:

A f.g B   ←→   f/¨ (⊂[¯1+⍴⍴A]A) ∘.g ⊂[0]B

即:将 A 沿其最后一个轴切割成切片，将 B 沿其第一个轴切割成切片，然后将 A 中的每个切片组合起来code> 使用 g 从 B 的每个切片，最后使用 f 执行归约。

如果A 和B 是矩阵，切片将是A 的行和B 的列>:

┌───┐     ┌───┐
│0 1│     │4 5│
│   │ +.× │   │
│2 3│     │6 7│
└───┘     └───┘

     ┌───┐     ┌─┬─┐
     │0 1│     │4│5│
+/¨  ├───┤ ∘.× │ │ │
     │2 3│     │6│7│
     └───┘     └─┴─┘

     ┌─────────┬─────────┐
     │0 1 × 4 6│0 1 × 5 7│
+/¨  ├─────────┼─────────┤
     │2 3 × 4 6│2 3 × 5 7│
     └─────────┴─────────┘

┌────────────┬────────────┐
│+/ 0 1 × 4 6│+/ 0 1 × 5 7│
├────────────┼────────────┤
│+/ 2 3 × 4 6│+/ 2 3 × 5 7│
└────────────┴────────────┘

┌─────┐
│ 6  7│
│     │
│26 31│
└─────┘

如果 A 和 B 是向量，那么切片将是 A 和 B 本身，而你得到

A +.× B   ←→   +/ A×B        ⍝ if A and B are vectors

在任何情况下，要使内积起作用，A 的最后一个轴的长度需要与 B 的第一个轴的长度相匹配。