r - 二元正态分布的离散近似

Question

我想对二元正态分布进行离散近似。也就是说，我想计算一个矩阵，其中每个条目是落入下图小方块之一的概率。



这是我到目前为止所做的。

library(mvtnorm)
library(graphics)

euclide = function(x,y){sqrt(x^2+y^2)}
maxdist = 40
sigma = diag(2)
m = matrix(0,ncol=maxdist*2 + 1, nrow=maxdist*2 + 1)
for (row in -maxdist:maxdist){
    for (col in -maxdist:maxdist){
        if ( euclide(abs(row), abs(col)) < maxdist ){
            lower = c(row-0.5, col-0.5)
            upper = c(row+0.5, col+0.5)
            p = pmvnorm(lower = lower , upper = upper, mean = c(0,0), sigma = sigma)    
        } else {
            p = 0
        }
        m[row + maxdist + 1,col + maxdist + 1] = p
    }
}
m = m[rowSums(m)!=0,colSums(m)!=0]
contour(m, levels = exp(-20:0), xlim=c(0.3,0.7), ylim=c(0.3,0.7))

它工作正常。虽然它很慢(对于大型 maxdist )，但我希望改善其计算时间。但这不是我的主要问题......

主要问题是，使用我的方法，我无法更改靠近中心的小方块的数量以更好地接近均值。我只能在周围添加正方形。换句话说，我希望能够设置二元正态分布的两个轴的方差。

Answer 1

我不是 R 人，但我确信正态分布有一个 CDF 函数。如果你想要的是从字面上描述落入每个方块的概率矩阵，我们可以使用这个 CDF 函数来得到答案。由于 2D 正态分布具有独立的边际分布，因此这里的问题只是针对轴位置 [x_left, x_right] 和 [y_left, y_right] 描述的每个正方形提出 2 个问题:

一维正态随机变量在区间 [x_left, x_right] 中的概率是多少？

另一个独立的一维正态随机变量在区间 [y_left, y_right] 中的概率是多少？

由于两者是独立的，平方的全概率为:

P = (CDF(x_right) - CDF(x_left))*(CDF(y_right) - CDF(y_left))

这是一个准确的答案，所以计算时间应该不是问题!

编辑:我还应该说，您可以选择每个轴上有更多刻度接近零的网格，以获得您想要的分辨率。上述每个方格的概率公式仍然成立。