r - 当只有预测网格的分辨率发生变化时，为什么预测多项式会发生巨大变化？

Question

为什么我有完全相同的模型，但在不同的网格大小(0.001 vs 0.01)上运行预测得到不同的预测？

set.seed(0)
n_data=2000
x=runif(n_data)-0.5
y=0.1*sin(x*30)/x+runif(n_data)
plot(x,y)


poly_df=5
x_exp=as.data.frame(cbind(y,poly(x, poly_df)))
fit=lm(y~.,data=x_exp)

x_plt1=seq(-1,1,0.001)
x_plt_exp1=as.data.frame(poly(x_plt1,poly_df))
lines(x_plt1,predict(fit,x_plt_exp1),lwd=3,col=2)

x_plt2=seq(-1,1,0.01)
x_plt_exp2=as.data.frame(poly(x_plt2,poly_df))
lines(x_plt2,predict(fit,x_plt_exp2),lwd=3,col=3)

Answer 1

这是一个编码/编程问题，因为在我的快速运行中，通过将 poly() 放入模型公式，我无法通过适当的设置重现此问题。所以我认为这个问题更适合 Stack Overflow。

## quick test ##

set.seed(0)
x <- runif(2000) - 0.5
y <- 0.1 * sin(x * 30) / x + runif(2000)
plot(x,y)

x_exp <- data.frame(x, y)
fit <- lm(y ~ poly(x, 5), data = x_exp)

x1 <- seq(-1, 1, 0.001)
y1 <- predict(fit, newdata = list(x = x1))
lines(x1, y1, lwd = 5, col = 2)

x2 <- seq(-1, 1, 0.01)
y2 <- predict(fit, newdata = list(x = x2))
lines(x2, y2, lwd = 2, col = 3)

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cuttlefish44 指出了您的实现中的错误。 在制作预测矩阵的时候，我们希望使用模型矩阵中的构造信息，而不是构造新的一组基。如果你想知道这样的“构造信息”是什么，也许你可以通过这个非常长答案:How poly() generates orthogonal polynomials? How to understand the “coefs” returned?

也许我可以尝试做一个简短的总结，然后绕过那个冗长而详细的答案。

1. 正交多项式的构造总是从输入协变量值x的中心开始。如果这个中心不同，那么其余的一切都会不同。现在，这就是 poly(x, coef = NULL) 和 poly(x, coef = some_coefficients) 之间的区别。前者将始终使用新的中心构造一组新的基，而后者将使用 some_coefficients 中现有的居中信息来预测给定设置的基值。这肯定是我们在进行预测时想要的。
2. poly(x, coef = some_coefficients) 实际上会调用 predict.poly (我在那个长答案中解释了)。除非我们在做测试，否则我们需要自己设置 coef 参数的情况相对较少。如果我们使用我在上面的快速运行中介绍的方式设置线性模型，predict.lm 足够聪明，可以实现预测 poly 模型项的正确方法，即, 在内部它会为我们做 poly(new_x, coef = some_coefficients)。
3. 作为一个有趣的对比，普通多项式对此没有问题。例如，如果您在代码中的所有 poly() 调用中指定 raw = TRUE，则不会有任何问题。这是因为原始多项式没有构造信息；它只是获取 x 的 1, 2, ... degree 的权力。