matrix - 填充这个矩阵的简单方法？

Question

我想填充一个 n * n (n 为奇数) 矩阵如下:

_   _   _   23  22  21  20
_   _   24  10  9   8   37
_   25  11  3   2   19  36
26  12  4   1   7   18  35
27  13  5   6   17  34  _
28  14  15  16  33  _   _
29  30  31  32  _   _   _

使用 Mathematica 执行此操作的简单方法是什么？

Answer 1

使用这个辅助函数:

Clear[makeSteps];
makeSteps[0] = {};
makeSteps[m_Integer?Positive] :=
  Most@Flatten[
    Table[#, {m}] & /@ {{-1, 0}, {-1, 1}, {0, 1}, {1, 0}, {1, -1}, {0, -1}}, 1];

我们可以构造矩阵为

constructMatrix[n_Integer?OddQ] :=
  Module[{cycles, positions},
    cycles = (n+1)/2;
    positions = 
       Flatten[FoldList[Plus, cycles + {#, -#}, makeSteps[#]] & /@ 
           Range[0, cycles - 1], 1];
    SparseArray[Reverse[positions, {2}] -> Range[Length[positions]]]];

要获得您描述的矩阵，请使用

constructMatrix[7] // MatrixForm

这背后的想法是检查连续数字 1.. 的位置遵循的模式。你可以看到这些形成了循环。第零个循环是微不足道的 - 在位置 {0,0} 处包含一个数字 1 (如果我们从中心计算位置)。下一个循环是通过在位置 {1,-1} 处取第一个数字 (2) 来形成的。并一一添加以下步骤:{0, -1}, {-1, 0}, {-1, 1}, {0, 1}, {1, 0} (当我们围绕中心移动时)。第二个周期类似，但我们要从{2,-2}开始，将前面的每一步重复两次，并添加第六步(向上)，只重复一次:{0, -1} .第三个循环类似:从 {3,-3} 开始, 重复所有步骤 3 次，除了 {0,-1}只重复两次。辅助功能makeSteps使过程自动化。然后在主函数中，我们必须将所有位置收集在一起，然后添加到它们 {cycles, cycles}因为它们是从中心开始计算的，中心位置是 {cycles,cycles} .最后，我们构造了 SparseArray在这些职位之外。