wolfram-mathematica - 强制 Mathematica 在非结构化张量网格上进行插值

Question

这个列表是一个简单的函数，它将一个二维点映射到一个数字，如果
你把每一个{{x,y},z}如 f[x,y]=z

{ 
 {{1,3},9}, {{1,4},16}, 
 {{2,4},8}, {{2,5},10} 
} 

我现在想要一个内插/外推的函数 f[x,y]对于任何 {x,y} .

Mathematica 拒绝这样做:

Interpolation[{{{1,3},9}, {{1,4},16},{{2,4},8}, {{2,5},10}},  
 InterpolationOrder->1] 

Interpolation::indim: The coordinates do not lie on a structured tensor product grid.

我明白为什么(Mathematica 想要一个“矩形”域)，但是
强制 Mathematica 创建插值的最简单方法是什么？

这不起作用:

f[1,3]=9; f[1,4]=16; f[2,4]=8; f[2,5]=10; 
g=FunctionInterpolation[f[x,y],{x,1,2},{y,3,5}] 

FunctionInterpolation::nreal:
16 Near {x, y} = {1, --}, the function did not evaluate to a real number. 5 FunctionInterpolation::nreal:
17 Near {x, y} = {1, --}, the function did not evaluate to a real number. 5 FunctionInterpolation::nreal:
18 Near {x, y} = {1, --}, the function did not evaluate to a real number. 5 General::stop: Further output of FunctionInterpolation::nreal will be suppressed during this calculation.

即使您忽略上述警告，评估 g 也会出错

g[1.5,4] // FortranForm 


     f(1.5,4) + 0.*(-9.999999999999991*(f(1.4,4) - f(1.5,4)) +  
 -      0.10000000000000009* 
 -       (9.999999999999991* 
 -          (9.999999999999991*(f(1.4,4) - f(1.5,4)) +  
 -            4.999999999999996*(-f(1.4,4) + f(1.6,4))) +  
 -         0.5000000000000006* 
 -          (-10.000000000000014* 
 -             (-3.333333333333333*(f(1.3,4) - f(1.6,4)) -  
 -               4.999999999999996*(-f(1.4,4) + f(1.6,4))) -  
 -            9.999999999999991* 
 -             (9.999999999999991*(f(1.4,4) - f(1.5,4)) +  
 -               4.999999999999996*(-f(1.4,4) + f(1.6,4)))))) 

另一个“明显”的想法(插值插值函数
他们自己)也不起作用。

Answer 1

如果多项式插值可接受， InterpolatingPolynomial 做你想做的事(其中 data 是你上面的要点列表):

In[63]:= InterpolatingPolynomial[data, {x, y}]

Out[63]= -24 + x (12 - 5 y) + 12 y

In[64]:= f[2, 3]

Out[64]= 6

您也可以使用 Fit 对第二个参数中指定的函数的线性组合进行最小二乘拟合:

In[65]:= Fit[Flatten /@ data, {1, x, y}, {x, y}]

Out[65]= 4.75 - 8. x + 4.5 y

当然，拟合函数可能不会完全插入您的数据点。如果这样的拟合是可以接受的， FindFit 可以适合您指定的任何(线性或非线性)模型函数:

In[72]:= FindFit[Flatten/@data, x y (a Sin[x] + b Cos[y]) + c, {a,b,c}, {x,y}]

Out[72]= {a -> -0.683697, b -> 0.414257, c -> 15.3805}

哼!