language-agnostic - 围绕数字 : a hypothetical two's complement question 的硬件表示

Question

这是一个非常幼稚的问题(我知道)，但我认为这将是一个很好的起点，可以考虑如何实际执行 CPU 的基本指令集:

在二进制补码系统中，您不能反转您的实现可以表示的最大负数的符号。理论上的原因很明显，最大负数的否定将超出实现的范围(范围总是类似于
-128 到 127)。

但是，当您尝试对最大负数执行否定运算时，实际发生的情况非常奇怪。例如，在 8 位表示中，最大负数是 -128，或二进制的 1000 0000。通常，要否定一个数字，您会翻转所有位，然后加一个。但是，如果您尝试使用 -128 执行此操作，您最终会得到:

1000 0000 ->
0111 1111 ->
1000 0000

与您开始时使用的号码相同。因此，wikipedia称之为“奇怪的数字”。

在同一个 wikipedia文章，它说上面的否定

is detected as an overflow condition since there was a carry into but not out of the most-significant bit.

所以我的问题是:
A) 这到底是什么意思？和
B) 似乎 CPU 在每次执行基本算术运算时都需要执行额外的错误检查步骤，以避免与此否定相关的事故，从而产生大量开销。如果是这种情况，为什么不截断可以表示的数字范围以排除奇怪的数字(即 8 位为 -127 到 127)？如果不是这样，您如何在不产生额外开销的情况下实现此类错误检查？

Answer 1

MSB 的进位位用作标志，表示我们 需要更多位。没有它，我们将拥有一个 modular arithmetic 的系统。 ¹ 无法检测到我们何时回绕。

在模算术中，您处理的不是数字，而是 equivalence classes余数相同的数。在这样的 一个系统，将 1 加到 127 之后，你会得到 -128，你会 得出 +128 和 -128 属于同一个等价类的结论。

如果您将自己限制在 -127 到 +127 范围内的数字，您 必须重新定义加法，因为 127 + 1 = -127 是无意义的。

计算机向您呈现补码运算时， 本质上是具有检测溢出能力的模运算。

这是将 0001 添加到 4 位加法器时的样子 0111。您可以看到，在 MSB 中，进位和进位是 不同:

     0        0        0        1
     | 0      | 1      | 1      | 1
     | |      | |      | |      | |
     v v      v v      v v      v v
0 <- ADD <-1- ADD <-1- ADD <-1- ADD <- 0
^     |    ^   |        |        |
      v        v        v        v
      1        0        0        0

ALU 使用这个标志来表示发生了溢出， 无需任何额外步骤。

^{1.模运算从 0 到 255 而不是 -127 到 128，但基本思想是相同的。}