四舍五入问题

Question

我正在阅读The R Inferno，并且遇到了我不了解的内容。除了Inferno中的8.2.23节，在比较浮点数方面还有一些很好的问题:question1，question2。

但是，使用all.equal仍然遇到问题。使用默认的all.equal我得到了预期的结果(大部分是)。

> all.equal(2,1.99999997)
[1] "Mean relative difference: 1.5e-08"
> all.equal(2,1.99999998) #I expected FALSE here
[1] TRUE
> all.equal(2,1.99999999)
[1] TRUE

我不确定为什么在1.99999998中该函数返回TRUE，但这与我指定公差级别的以下行为无关:

> all.equal(2,1.98,tolerance=0.01) #Behaves as expected
[1] "Mean relative difference: 0.01"
> all.equal(2,1.981,tolerance=0.01) #Does not behave as expected
[1] TRUE

此外，

> all.equal(2,1.980000000001,tolerance=0.01)
[1] TRUE 

但是，如果我们计算:

> diff(c(1.981,2))
[1] 0.019

显然，

> diff(c(1.981,2)) >= 0.01
[1] TRUE

那么，为什么all.equal不能以容差0.01区分2和1.981？

编辑

从文档中:比例= NULL(默认值)的数值比较是通过首先计算两个数值向量的平均绝对差来完成的。如果此值小于公差或不是有限的，则使用绝对差，否则使用平均绝对差来缩放相对差。

在这里我不了解行为。我可以看到diff(1.981,2)不是有限的:

> sprintf("%.25f",diff(c(1.981,2)))
[1] "0.0189999999999999058530875"

但是，然后按比例缩放呢？当每个向量的长度为1时，平均绝对差应等于两个数字的差，并且除以平均绝对差将得出1。显然，我理解这里的逻辑是错误的。

Answer 1

这与浮点精度有关。乍一看，手册并不完全清楚，但是在您的示例中，mean absolute difference的2-1.981是0.019，即> 0.01，即tolerance。 scale也是NULL。因此，进行的比较是通过平均绝对差缩放的相对差。嗯？

使用tolerance意味着您关心所涉及数字的大小。 Relative difference并不考虑差异(绝对值)有多大，而是相对于要比较的数字有多大。给定链接中的示例，与1,000,000,000和1,000,000,001之间的区别(在5和6之间)的区别更大(我使用的术语是宽松的)。

因此，如果两个数字之间的相对差异小于tolerance，则认为这些数字相等。对于两个单个数字(如本例所示)，相对差由下式给出:

( current - target ) / current

哪一个

( 2 - 1.981 ) / 2 == 0.0095

您指定的公差为0.01，因此数字被视为相等，因为相对差小于此值。这些数字之间的差异±的相对差异也恰好是最小的可表示浮点数!

identical( abs( ( 2 - 0.0095 ) - ( 1.981 + 0.0095 ) ) , .Machine$double.eps )
[1] TRUE

现在尝试:

all.equal( 2 , 1.981 , 0.00949999999999 )
[1] "Mean relative difference: 0.0095"