假设 F 是具有附加定律的应用仿函数(使用 Haskell 语法):
pure (const ()) <*> m
=== pure ()
pure (\a b -> (a, b)) <*> m <*> n
=== pure (\a b -> (b, a)) <*> n <*> m
pure (\a b -> (a, b)) <*> m <*> m
=== pure (\a -> (a, a)) <*> m
如果我们省略(3.),结构叫什么?
我在哪里可以找到有关这些法律/结构的更多信息?
评论评论
满足 (2.) 的仿函数通常称为可交换仿函数。
现在的问题是,(1.)是否暗示(2.)以及如何描述这些结构。
我对满足 (1-2.) 但不满足 (3.) 的结构特别感兴趣
例子:
F
下面给出满足 (1-2.) 但不满足 (3.) F
的定义:{-# LANGUAGE GeneralizedNewtypeDeriving #-}
{-# LANGUAGE RankNTypes #-}
import Control.Monad.State
newtype X i = X Integer deriving (Eq)
newtype F i a = F (State Integer a) deriving (Monad)
new :: F i (X i)
new = F $ modify (+1) >> gets X
evalF :: (forall i . F i a) -> a
evalF (F m) = evalState m 0
我们只导出类型
X
, F
, new
, evalF
,以及实例。检查以下是否成立:
liftM (const ()) m
=== return ()
liftM2 (\a b -> (a, b)) m n
=== liftM2 (\a b -> (b, a)) n m
另一方面,
liftM2 (,) new new
不能被 liftM (\a -> (a,a)) new
替换:test = evalF (liftM (uncurry (==)) $ liftM2 (,) new new)
/= evalF (liftM (uncurry (==)) $ liftM (\a -> (a,a)) new)
评论 C. A. McCann 的回答
我有一个证明草图,证明 (1.) 暗示 (2.)
pure (,) <*> m <*> n
=
pure (const id) <*> pure () <*> (pure (,) <*> m <*> n)
=
pure (const id) <*> (pure (const ()) <*> n) <*> (pure (,) <*> m <*> n)
=
pure (.) <*> pure (const id) <*> pure (const ()) <*> n <*> (pure (,) <*> m <*> n)
=
pure const <*> n <*> (pure (,) <*> m <*> n)
= ... =
pure (\_ a b -> (a, b)) <*> n <*> m <*> n
= 见下文 =
pure (\b a _ -> (a, b)) <*> n <*> m <*> n
= ... =
pure (\b a -> (a, b)) <*> n <*> m
=
pure (flip (,)) <*> n <*> m
观察
对于缺失的部分,首先考虑
pure (\_ _ b -> b) <*> n <*> m <*> n
= ... =
pure (\_ b -> b) <*> n <*> n
= ... =
pure (\b -> b) <*> n
= ... =
pure (\b _ -> b) <*> n <*> n
= ... =
pure (\b _ _ -> b) <*> n <*> m <*> n
引理
我们使用以下引理:
pure f1 <*> m === pure g1 <*> m
pure f2 <*> m === pure g2 <*> m
暗示
pure (\x -> (f1 x, f2 x)) m === pure (\x -> (g1 x, g2 x)) m
我只能间接地证明这个引理。
缺少的部分
有了这个引理和第一个观察,我们可以证明
pure (\_ a b -> (a, b)) <*> n <*> m <*> n
=
pure (\b a _ -> (a, b)) <*> n <*> m <*> n
这是缺少的部分。
问题
这是否已经在某个地方得到证明(可能是广义的形式)?
评论
(1.) 暗示 (2.) 但否则 (1-3.) 是独立的。
为了证明这一点,我们还需要两个例子:
G
下面给出满足 (3.) 但不满足 (1-2.) G'
下面给出的满足 (2-3.) 但不满足 (1.) G
的定义:newtype G a = G (State Bool a) deriving (Monad)
putTrue :: G ()
putTrue = G $ put True
getBool :: G Bool
getBool = G get
evalG :: G a -> a
evalG (G m) = evalState m False
我们只导出类型
G
, putTrue
, getBool
, evalG
,以及 Monad
实例。G'
的定义类似于 G
的定义有以下区别:我们定义并导出
execG
:execG :: G' a -> Bool
execG (G m) = execState m False
我们做 不导出
getBool
.
最佳答案
你的第一定律是一个非常强烈的要求;这意味着仿函数不能有独立于参数部分的可区分的“形状”。这排除了任何包含额外值(State
、Writer
等)的仿函数以及任何使用求和类型(Either
、[]
等)的仿函数。所以这将我们限制在固定大小的容器之类的东西上。
您的第二定律需要交换性,这意味着嵌套顺序(即仿函数组合)无关紧要。这实际上可能由第一定律暗示,因为我们已经知道仿函数不能包含除参数值之外的任何信息,并且您明确要求在此处保留该信息。
您的第三定律要求仿函数也是幂等的,这意味着使用 fmap 将某些内容嵌套在自身内部等同于自身。这可能意味着如果仿函数也是一个单子(monad),join
涉及某种“取对角线”。基本上,这意味着 liftA2 (,)
应该表现得像 zip
,而不是笛卡尔积。
第二个和第三个一起意味着无论仿函数可能有多少“原语”,任何组合都相当于以任何顺序组合每个原语中的最多一个。第一个意味着如果你丢弃参数信息,任何原语组合都与完全不使用相同。
总之,我认为您拥有的是the class of functors isomorphic to Reader
.也就是说,f a
的仿函数描述 a
类型的值由其他类型索引,例如自然数的子集(对于固定大小的容器)或任意类型(如 Reader
)。
不幸的是,我不确定如何令人信服地证明上述大部分内容。
关于haskell - 这种特殊的仿函数结构叫什么?,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/16123588/