haskell - 为什么我们使用折叠将数据类型编码为函数？

Question

或者具体来说，为什么我们使用 foldr 来编码列表和迭代来编码数字？

很抱歉介绍冗长，但我真的不知道如何命名我想问的事情，所以我需要先做一些说明。这主要来自 this C.A.McCann post这并不能完全满足我的好奇心，而且我也会用 rank-n-types 和无限懒惰的东西来解决问题。

将数据类型编码为函数的一种方法是创建一个“模式匹配”函数，该函数为每种情况接收一个参数，每个参数都是一个函数，该函数接收与该构造函数相对应的值，并且所有参数都返回相同的结果类型。

对于非递归类型，这一切都按预期进行

--encoding data Bool = true | False
type Bool r = r -> r -> r

true :: Bool r
true = \ct cf -> ct

false :: Bool r
false = \ct cf -> cf

--encoding data Either a b = Left a | Right b
type Either a b r = (a -> r) -> (b -> r) -> r

left :: a -> Either a b r
left x = \cl cr -> cl x

right :: b -> Either a b r
right y = \cl cr -> cr y

然而，与模式匹配的很好的类比在递归类型中被打破了。我们可能会想做类似的事情

--encoding data Nat = Z | S Nat
type RecNat r = r -> (RecNat -> r) -> r
zero = \cz cs -> cz
succ n = \cz cs -> cs n

-- encoding data List a = Nil | Cons a (List a)
type RecListType a r = r -> (a -> RecListType -> r) -> r
nil = \cnil ccons -> cnil
cons x xs = \cnil ccons -> ccons x xs

但是我们不能在 Haskell 中编写那些递归类型定义!通常的解决方案是强制将 cons/succ 案例的回调应用于所有级别的递归，而不仅仅是第一个级别(即，编写折叠/迭代器)。在这个版本中，我们使用返回类型 r递归类型将是:

--encoding data Nat = Z | S Nat
type Nat r = r -> (r -> r) -> r
zero = \cz cf -> cz
succ n = \cz cf -> cf (n cz cf)

-- encoding data List a = Nil | Cons a (List a)
type recListType a r = r -> (a -> r -> r) -> r
nil = \z f -> z
cons x xs = \z f -> f x (xs z f)

虽然此版本有效，但它使定义某些功能变得更加困难。例如，如果您可以使用模式匹配，则为列表编写“tail”函数或为数字编写“predecessor”函数是微不足道的，但如果您需要使用折叠来代替，则变得很棘手。

所以我的真正问题是:

我们如何确定使用折叠的编码与假设的“模式匹配编码”一样强大？ 有没有办法通过模式匹配来获取任意函数定义，然后机械地将其转换为仅使用折叠的函数？ (如果是这样，这也将有助于使复杂的定义，如 tail 或 foldl 在 foldr 方面不那么神奇)

为什么 Haskell 类型系统不允许“模式匹配”编码中需要的递归类型？ .是否有理由只允许在通过 data 定义的数据类型中使用递归类型？ ?模式匹配是直接使用递归代数数据类型的唯一方法吗？它与类型推断算法有关吗？

Answer 1

给定一些归纳数据类型

data Nat = Succ Nat | Zero

我们可以考虑如何对这些数据进行模式匹配

case n of
  Succ n' -> f n'
  Zero    -> g

很明显，Nat -> a 类型的每个函数可以通过给出适当的 f 来定义和 g以及制作 Nat 的唯一方法(裸露的底部)正在使用两个构造函数之一。

编辑:想想f一会儿。如果我们定义一个函数 foo :: Nat -> a通过给出适当的f和 g这样f递归调用 foo比我们可以重新定义f如f' n' (foo n')这样f'不是递归的。如果类型 a = (a',Nat)我们可以改为写f' (foo n) .所以，不失一般性

foo n = h $ case n
                 Succ n' -> f (foo n)
                 Zero    -> g

这是使我的帖子的其余部分有意义的表述:

因此，我们可以将 case 语句视为应用“析构字典”

data NatDict a = NatDict {
   onSucc :: a -> a,
   onZero :: a
}

现在我们之前的案例陈述可以变成

h $ case n of
      Succ n' -> onSucc (NatDict f g) n'
      Zero    -> onZero (NatDict f g)

鉴于此，我们可以得出

newtype NatBB = NatBB {cataNat :: forall a. NatDict a -> a}

然后我们可以定义两个函数

fromBB :: NatBB -> Nat
fromBB n = cataNat n (NatDict Succ Zero)

和

toBB :: Nat -> NatBB
toBB Zero = Nat $ \dict -> onZero dict
toBB (Succ n) = Nat $ \dict -> onSucc dict (cataNat (toBB n) dict)

我们可以证明这两个函数是同构的见证(直到快速和失去推理)，从而表明

newtype NatAsFold = NatByFold (forall a. (a -> a) -> a -> a)

(与 NatBB 相同)与 Nat 同构

我们可以对其他类型使用相同的构造，并通过证明基础类型与代数推理(和归纳)同构来证明生成的函数类型是我们想要的。

至于你的第二个问题，Haskell 的类型系统基于等递归而不是等递归类型。这可能是因为理论和类型推断更容易使用 iso-recursive 类型解决，并且它们具有所有功能，它们只是将更多的工作强加给程序员部分。我喜欢声称你可以在没有任何开销的情况下获得你的 iso-recursive 类型

newtype RecListType a r = RecListType (r -> (a -> RecListType -> r) -> r)

但显然 GHCs 优化器有时会扼杀那些 :(。