r - 受范数不等式约束的二次函数最小化

Question

我正在尝试解决以下不等式约束:

给定 N 只股票的时间序列数据，我正在尝试构建一个投资组合权重向量以最小化返回的方差。

目标函数:

min w^{T}\sum w
s.t. e_{n}^{T}w=1
\left \| w \right \|\leq C

其中 w 是权重向量，\sum 是协方差矩阵，e_{n}^{T} 是向量其中，C 是一个常量。其中第二个约束 (\left\| w\right\|) 是不等式约束(权重的 2-范数)。

我尝试使用nloptr()函数，但它给了我一个错误:提供的算法不正确。我不确定如何选择正确的算法，也不确定这是否是解决这个不等式约束的正确方法。

我也愿意使用其他函数，只要它们能解决这个限制。

这是我尝试的解决方案:

data <- replicate(4,rnorm(100))
N <- 4
fn<-function(x) {cov.Rt<-cov(data); return(as.numeric(t(x) %*%cov.Rt%*%x))}     
eqn<-function(x){one.vec<-matrix(1,ncol=N,nrow=1); return(-1+as.numeric(one.vec%*%x))}


C <- 1.5
ineq<-function(x){
  z1<- t(x) %*% x
  return(as.numeric(z1-C))  
}   

uh <-rep(C^2,N)
lb<- rep(0,N)
x0 <- rep(1,N)

local_opts <- list("algorithm"="NLOPT_LN_AUGLAG,",xtol_rel=1.0e-7)
opts <- list("algorithm"="NLOPT_LN_AUGLAG,",
             "xtol_rel"=1.0e-8,local_opts=local_opts)
sol1<-nloptr(x0,eval_f=fn,eval_g_eq=eqn, eval_g_ineq=ineq,ub=uh,lb=lb,opts=opts)

Answer 1

这看起来像是一个简单的 QP(二次规划)问题。使用 QP 求解器代替通用 NLP(非线性编程)求解器可能更容易(不需要导数、函数等)。 R 有一个称为quadprog 的QP 求解器。为quadprog设置一个问题并不是完全微不足道的，但是here是一个非常相似的投资组合示例，带有完整的 R 代码，用于展示如何解决此问题。它具有相同的目标(最小化风险)、相同的预算约束以及下限和上限。该示例只是有一个额外的约束，指定所需的最低投资组合返回。

实际上我误读了这个问题:第二个约束是 ||x|| <= C.我认为我们可以将整个模型表示为:

这实际上看起来像一个凸模型。我可以使用 Cplex、Gurobi 和 Mosek 等“大型”求解器来解决它。这些求解器支持凸二次约束问题。我还相信这可以表述为圆锥编程问题，从而开辟更多可能性。

这是我在 R 中使用 cccp 包的示例。cccp 代表 锥约束凸问题，是 CVXOPT 的端口。