math - 给定表面法线，找到 3D 平面的旋转

Question

所以我有一个由 2 个向量描述的 3D 平面:

P : a point which lies on the Plane
N : the surface normal for the Plane

我有一个非常大的扁平方形多边形，我想渲染它来代表这个平面。我可以轻松地将多边形转换为给定点，但是我需要找到适当的旋转来应用以使表面法线实际上是表面法线。

我尝试了其他提到的方法:

1) Take any none parallel vector (V) to the normal (N), and take the cross product (W1)
2) Take the cross product of (W1) and (N) now (W2) and that is a Vector (V') which lies on the Plane

然后，我根据平面上的 (V') 生成一个旋转矩阵，这样我的多边形将与 (V') 对齐。这行得通，但很明显，这种方法整体上不能正常工作。多边形并不完全垂直于表面法线。

关于如何产生正确的旋转的任何想法？

Answer 1

关于旋转的一些有用的事情:

任何三个排列成行的正交向量都定义了到新基的变换(到该基的旋转)。

任何旋转的转置都是它的逆。

因此，排列为列的任何三个正交向量定义了从某个基础到您的“世界”引用框架的旋转。

所以，问题是找到任何三个正交向量的集合并将它们排列为

| x1 x2 x3  0 |
| y1 y2 y3  0 |
| z1 z2 z3  0 |
|  0  0  0  1 |

这正是您描述的方法试图做的，如果它不起作用，那么您的实现就有问题。

我们显然可以将您的法线用作 (x1,y1,z1)，但问题是系统对剩余的两个向量有无限多的解决方案(尽管知道其中一个会给您另一个，作为叉积)。下面的代码应该给出一个垂直于 (x1,y1,z1) 的稳定向量:

float normal[3] = { ... };

int imin = 0;
for(int i=0; i<3; ++i)
    if(std::abs(normal[i]) < std::abs(normal[imin]))
        imin = i;

float v2[3] = {0,0,0};
float dt    = normal[imin];

v2[imin] = 1;
for(int i=0;i<3;i++)
    v2[i] -= dt*normal[i];

这基本上使用了格拉姆-施密特正交化，其维度已经与法线向量最正交。然后可以通过取 normal 的叉积来获得 v3和 v2 .

您可能需要注意设置旋转，它与原点有关，因此您需要在旋转后应用平移，它用于列向量而不是行向量。如果您使用的是 OpenGL，请注意 OpenGL 以列主要顺序(而不是 C 的行主要顺序)获取数组，因此您可能需要转置。

恐怕我还没有测试过上面的内容，我只是从我不久前写的一些代码中找到了它，并根据你的问题进行了调整!希望我没有忘记任何细节。

编辑:我确实忘记了一些东西:)

上面的矩阵假设你的多边形法线是沿着 x 轴的，我有一个偷偷摸摸的怀疑它不会，你需要做的就是把“法线”向量放在旋转矩阵的正确列中，并且其他两列中的 v2/v3。因此，如果多边形的法线沿 z 轴，则法线位于第三列，v2/v3 位于前两列。

抱歉，如果这引起任何困惑。