haskell - 在 catamorphism 中组合 f-代数的规则是什么

Question

下面是一些简单的列表 F 代数。他们与 cata 合作功能从
recursion-schemes图书馆。

import Data.Functor.Foldable

algFilterSmall :: ListF Int [Int] -> [Int]
algFilterSmall Nil = [] 
algFilterSmall (Cons x xs) = if x >= 10 then (x:xs) else xs

algFilterBig :: ListF Int [Int] -> [Int]
algFilterBig Nil = [] 
algFilterBig (Cons x xs) = if x < 100 then (x:xs) else xs

algDouble :: ListF Int [Int] -> [Int]
algDouble Nil = [] 
algDouble (Cons x xs) = 2*x : xs

algTripple :: ListF Int [Int] -> [Int]
algTripple Nil = [] 
algTripple (Cons x xs) = 3*x : xs

现在我组成它们:

doubleAndTripple :: [Int] -> [Int]
doubleAndTripple = cata $ algTripple . project . algDouble
-- >>> doubleAndTripple [200,300,20,30,2,3]
-- [1200,1800,120,180,12,18]

doubleAndTriple按预期工作。两个代数都是结构保持的，它们不
更改列表的长度，因此 cata 可以将这两个代数应用于列表的每个项目。

下一个是 filter 和 double:

filterAndDouble :: [Int] -> [Int] 
filterAndDouble = cata $ algDouble . project . algFilterBig
-- >>> filterAndDouble [200,300,20,30,2,3]
-- [160,60,4,6]

它不能正常工作。我猜是因为 algFilterBig不保留结构。

现在是最后一个例子:

filterBoth :: [Int] -> [Int] 
filterBoth = cata $ algFilterSmall . project . algFilterBig 
-- >>> filterBoth [200,300,20,30,2,3]
-- [20,30]

这里的两个代数都不保留结构，但这个例子是有效的。

构成 f 代数的确切规则是什么？

Answer 1

“结构保持代数”可以形式化为自然变换(可以在不同的仿函数之间)。

inList :: ListF a [a] -> [a]
inList Nil = []
inList (Cons a as) = a : as

ntDouble, ntTriple :: forall a. ListF Int a -> ListF Int a
algDouble = inList . ntDouble
algTriple = inList . ntTriple

然后，对于任何代数 f和自然变换n ,

cata (f . inList . n) = cata f . cata n

doubleAndTriple示例是 f = algTriple 的一个实例和 n = ntDouble .

这不容易推广到更大的代数类别。

我认为过滤器的情况在没有类别的情况下更容易看到，因为 filter是一个半群同态:filter p . filter q = filter (liftA2 (&&) p q) .

我在类似过滤器的代数上搜索了“分配律”的一般但充分条件。略略afs = algFilterSmall , afb = algFilterBig .我们倒推，找到一个充分条件:

cata (afs . project . afb) = cata afs . cata afb  -- Equation (0)

根据 catamorphism 的定义，z = cata (afs . project . afb)是这个方程的唯一解(伪装的交换图):

z . inList = afs . project . afb . fmap z

替代 z使用上一个方程的 RHS:

cata afs . cata afb . inList = afs . project . afb . fmap (cata afs . cata afb)
-- (1), equivalent to (0)

在 LHS 上，我们应用了 cata 的定义作为 Haskell 函数，cata afb = afb . fmap (cata afb) . project ，并用 project . inList = id 简化;

在 RHS 上，我们应用仿函数定律 fmap (f . g) = fmap f . fmap g .

这产生:

cata afs . afb . fmap (cata afb) = afs . project . afb . fmap (cata afs) . fmap (cata afb)
-- (2), equivalent to (1)

我们“简化”了最后一个因素 fmap (cata afb) (请记住，我们是在向后推理):

cata afs . afb = afs . project . afb . fmap (cata afs)  -- (3), implies (2)

这是我能想到的最简单的一个。