haskell - Haskell 中的谓词逻辑

Question

我一直在使用以下数据结构来表示 Haskell 中的命题逻辑:

data Prop 
    = Pred  String
    | Not   Prop
    | And   Prop Prop
    | Or    Prop Prop
    | Impl  Prop Prop
    | Equiv Prop Prop
    deriving (Eq, Ord)

欢迎对此结构提出任何意见。

但是，现在我想扩展我的算法来处理 FOL - 谓词逻辑。
在 Haskell 中表示 FOL 的好方法是什么？

我见过的版本 - 几乎 - 上面的扩展，以及基于更经典的上下文无关语法的版本。有没有这方面的文献，可以推荐？

Answer 1

这被称为 higher-order abstract syntax .

第一个解决方案:使用 Haskell 的 lambda。
数据类型可能如下所示:

data Prop 
    = Not   Prop
    | And   Prop Prop
    | Or    Prop Prop
    | Impl  Prop Prop
    | Equiv Prop Prop
    | Equals Obj Obj
    | ForAll (Obj -> Prop)
    | Exists (Obj -> Prop)
    deriving (Eq, Ord)

data Obj
    = Num Integer
    | Add Obj Obj
    | Mul Obj Obj
    deriving (Eq, Ord)

你可以写一个公式为:

ForAll (\x -> Exists (\y -> Equals (Add x y) (Mul x y))))

这在 The Monad Reader 中有详细描述。文章。强烈推荐。

第二种解决方案:

使用类似的字符串

data Prop 
    = Not   Prop
    | And   Prop Prop
    | Or    Prop Prop
    | Impl  Prop Prop
    | Equiv Prop Prop
    | Equals Obj Obj
    | ForAll String Prop
    | Exists String Prop
    deriving (Eq, Ord)

data Obj
    = Num Integer
    | Var String
    | Add Obj Obj
    | Mul Obj Obj
    deriving (Eq, Ord)

然后你可以写一个公式

ForAll "x" (Exists "y" (Equals (Add (Var "x") (Var "y")))
                               (Mul (Var "x") (Var "y"))))))

优点是您可以轻松地显示公式(很难显示 Obj -> Prop 函数)。缺点是您必须在碰撞(~alpha 转换)和替换(~beta 转换)上编写更改名称。在这两种解决方案中，您都可以使用 GADT 而不是两种数据类型:

 data FOL a where
    True :: FOL Bool
    False :: FOL Bool
    Not :: FOL Bool -> FOL Bool
    And :: FOL Bool -> FOL Bool -> FOL Bool
    ...
     -- first solution
    Exists :: (FOL Integer -> FOL Bool) -> FOL Bool
    ForAll :: (FOL Integer -> FOL Bool) -> FOL Bool
    -- second solution
    Exists :: String -> FOL Bool -> FOL Bool
    ForAll :: String -> FOL Bool -> FOL Bool
    Var :: String -> FOL Integer
    -- operations in the universe
    Num :: Integer -> FOL Integer
    Add :: FOL Integer -> FOL Integer -> FOL Integer
    ...

第三种解决方案 :使用数字表示变量的绑定(bind)位置，较低的表示较深。例如，在 ForAll (Exists (Equals (Num 0) (Num 1))) 中，第一个变量将绑定(bind)到 Exists，第二个变量将绑定(bind)到 ForAll。这被称为 de Bruijn 数字。见 I am not a number - I am a free variable .