floating-point - 浮点不准确示例

Question

锁定。这个问题及其答案是locked因为这个问题是题外话，但具有历史意义。它目前不接受新的答案或互动。








您如何向仍然认为计算机无限智慧和准确的新程序员和外行解释浮点不准确？
您是否有一个最喜欢的例子或轶事，它似乎比精确但枯燥的解释更能传达这个想法？
这在计算机科学类(class)中是如何教授的？

Answer 1

人们在使用浮点数时基本上会遇到两个主要的陷阱。

规模问题。每个 FP 数字都有一个指数，它决定了数字的整体“比例”，因此您可以表示非常小的值或非常大的值，尽管您可以为此投入的位数是有限的。添加两个不同比例的数字有时会导致较小的数字被“吃掉”，因为无法将其放入较大的比例中。

PS> $a = 1; $b = 0.0000000000000000000000001
PS> Write-Host a=$a b=$b
a=1 b=1E-25
PS> $a + $b
1

作为这种情况的类比，您可以想象一个大游泳池和一茶匙水。两者的尺寸非常不同，但单独您可以轻松掌握它们的大致大小。然而，将茶匙倒入游泳池后，您仍然会看到一个充满水的游泳池。

(如果学习这个的人对指数表示法有困难，也可以使用值 1 和 100000000000000000000 左右。)

然后是二进制与十进制表示的问题。类似 0.1 的数字不能用有限数量的二进制数字精确表示。不过，有些语言掩盖了这一点:

PS> "{0:N50}" -f 0.1
0.10000000000000000000000000000000000000000000000000

但是您可以通过将数字重复相加来“放大”表示错误:

PS> $sum = 0; for ($i = 0; $i -lt 100; $i++) { $sum += 0.1 }; $sum
9,99999999999998

不过，我想不出一个很好的比喻来正确解释这一点。这基本上是相同的问题，为什么您只能大约用十进制表示 1/3，因为要获得确切的值，您需要在小数部分的末尾无限重复 3。

类似地，二进制分数适用于表示二分之一、四分之一、八分之一等，但十分之一之类的东西会产生无限重复的二进制数字流。

然后还有另一个问题，尽管大多数人不会偶然发现，除非他们正在做大量的数字工作。但是，那些人已经知道了这个问题。由于许多浮点数只是精确值的近似值，这意味着对于实数 r 的给定近似值 f，可以有无限多的实数 r1、r2、...映射到完全相同的近似值。这些数字位于某个区间内。假设 rmin 是 r 的最小可能值，它导致 f 和 rmax 是 r 的最大可能值，这适用于它，然后您得到一个区间 [rmin, rmax]，其中该区间中的任何数字都可以是您的实际数字 r .

现在，如果您对该数字执行计算(加、减、乘等)，则会失去精度。每个数字只是一个近似值，因此您实际上是在执行间隔计算。结果也是一个区间，逼近误差只会越来越大，从而扩大了区间。您可能会从该计算中得到一个数字。但这只是可能结果区间中的一个数字，考虑到原始操作数的精度和计算导致的精度损失。

那种东西叫做Interval arithmetic至少对我来说，这是我们大学数学类(class)的一部分。