r - 检查差异是否小于机器精度的正确/标准方法是什么？

Question

我经常遇到必须检查所获得的差异是否超出机器精度的情况。为此，似乎R具有一个方便的变量:.Machine$double.eps。但是，当我转向R源代码获取有关使用此值的准则时，会看到多种不同的模式。

例子

以下是stats库中的一些示例:

检验

if(stderr < 10 *.Machine$double.eps * abs(mx))

chisq.test.R

if(abs(sum(p)-1) > sqrt(.Machine$double.eps))

整合

rel.tol < max(50*.Machine$double.eps, 0.5e-28)

影响力

e[abs(e) < 100 * .Machine$double.eps * median(abs(e))] <- 0

PRINCOMR

if (any(ev[neg] < - 9 * .Machine$double.eps * ev[1L]))

等等

问题

如何理解所有这些10 *，100 *，50 *和sqrt()修饰符背后的原因？

是否有关于使用.Machine$double.eps调整由于精度问题引起的差异的准则？

Answer 1

double的机器精度取决于其当前值。 .Machine$double.eps在值为1时给出精度。您可以使用C函数nextAfter获得其他值的机器精度。

library(Rcpp)
cppFunction("double getPrec(double x) {
  return nextafter(x, std::numeric_limits<double>::infinity()) - x;}")

(pr <- getPrec(1))
#[1] 2.220446e-16
1 + pr == 1
#[1] FALSE
1 + pr/2 == 1
#[1] TRUE
1 + (pr/2 + getPrec(pr/2)) == 1
#[1] FALSE
1 + pr/2 + pr/2 == 1
#[1] TRUE
pr/2 + pr/2 + 1 == 1
#[1] FALSE

当a是b的一半机器精度时，将b值添加到a值不会更改<=。使用<检查差异是否比机器精度小。修饰符可能会考虑典型情况，即添加项未显示更改的频率。

在R中，可以通过以下方式估算机器精度:

getPrecR <- function(x) {
  y <- log2(pmax(.Machine$double.xmin, abs(x)))
  ifelse(x < 0 & floor(y) == y, 2^(y-1), 2^floor(y)) * .Machine$double.eps
}
getPrecR(1)
#[1] 2.220446e-16

每个double值代表一个范围。对于一个简单的加法，结果的范围取决于每个被加数的范围以及它们的和的范围。

library(Rcpp)
cppFunction("std::vector<double> getRange(double x) {return std::vector<double>{
   (nextafter(x, -std::numeric_limits<double>::infinity()) - x)/2.
 , (nextafter(x, std::numeric_limits<double>::infinity()) - x)/2.};}")

x <- 2^54 - 2
getRange(x)
#[1] -1  1
y <- 4.1
getRange(y)
#[1] -4.440892e-16  4.440892e-16
z <- x + y
getRange(z)
#[1] -2  2
z - x - y #Should be 0
#[1] 1.9

2^54 - 2.9 + 4.1 - (2^54 + 5.9) #Should be -4.7
#[1] 0
2^54 - 2.9 == 2^54 - 2      #Gain 0.9
2^54 - 2 + 4.1 == 2^54 + 4  #Gain 1.9
2^54 + 5.9 == 2^54 + 4      #Gain 1.9

对于更高的精度，可以使用Rmpfr。

library(Rmpfr)
mpfr("2", 1024L)^54 - 2.9 + 4.1 - (mpfr("2", 1024L)^54 + 5.9)
#[1] -4.700000000000000621724893790087662637233734130859375

如果可以将其转换为整数，则可以使用gmp(Rmpfr中的内容)。

library(gmp)
as.bigz("2")^54 * 10 - 29 + 41 - (as.bigz("2")^54 * 10 + 59)
#[1] -47