math - 二进制 float 可以表示哪些类型的数字？

Question

我读过很多关于 float 的内容，但都是不必要的。我认为我已经基本理解了，但只有一件事我想确定:

我知道，1/pow(2,n) 形式的分数(其中 n 为整数)可以精确地用 float 表示。这意味着，如果我将 1/32 添加到自身 3200 万次，我将恰好得到 1,000,000。

像 1/(32+16) 这样的东西怎么样？它是 2 的 2 次方之和的 1，这有效吗？或者 1/32+1/16 有效吗？这就是我感到困惑的地方，所以如果有人能为我澄清这一点，我将不胜感激。

Answer 1

规则可以概括为:

• 如果分母的质因数分解仅包含 2(即分母是 2 的幂)，则可以用二进制精确表示一个数字。

因此，1/(32 + 16) 无法用二进制表示，因为它的分母是 3。但 1/32 + 1/16 = 3/32 是。

也就是说，用浮点类型表示有更多限制。例如，IEEE double 中只有 53 位尾数，因此 1/2 + 1/2^500 无法表示。

因此，只要指数范围不超过 53 次幂，您就可以进行 2 的幂求和。

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将此推广到其他基础:

• 如果分母的质因数分解仅由 2 和 5 组成，则可以精确地以 10 为底表示一个数字。

• 如果X分母的素数分解仅包含素数，则有理数X可以用基数N精确表示在 N 的分解中找到。