matlab - 矩阵加权和优化

Question

我是优化方面的初学者，欢迎该领域的任何指导。

我有 15 个矩阵(即大小为 (n*m) 的 Di)，想要找到最佳权重(即 wi )对它们进行加权平均，并生成一个与给定矩阵(即 Dt)更相似的更好的矩阵。

事实上我的目标函数是这样的:

min [norm2(sum(wi * Di) - Dt) + norm2(W)]
for i=1 ... 15    s.t. sum(wi) = 1 , wi >= 0

如何在 Matlab 中优化此函数？

Answer 1

您正在描述一个简单的 Quadratic programming ，可以使用 Matlab 的 quadprog 轻松优化.

事情是这样的:

您的目标函数是[norm2(sum(wi * Di) - Dt) +norm2(W)]，受到w的一些线性约束。让我们使用一些简化的符号来重写它。令 w 为未知数的 15×1 向量。令 D 为一个 n*m×15 矩阵(每一列都是您拥有的 Di 矩阵之一 - 写为单列)，而 Dt 是一个 n*m×1 向量(与 Dt 相同，但写为列向量)。现在一些线性代数(使用 ||x||^2 = x'*x 以及 argmin x 等于 argmin x^2 的事实)

[norm2(sum(wi * Di) - Dt)^2 + norm2(W)^2] =
(D*w-Dt)'*(D*w-Dt) + w'*w =
w'D'Dw - 2w'D'Dt + Dt'Dt + w'w =
w'(D'D+I)w - 2w'D'Dt + Dt'Dt

最后一项Dt'Dt是常数w.r.t w，因此可以在最小化过程中被丢弃，留下

H = 2*(D'*D+eye(15));
f = -2*Dt'*D;

至于约束sum(w)=1，这可以很容易地定义为

Aeq = ones(1,15);
beq = 1;

下限lb = Zeros(15,1)将确保所有w_i>=0。

二次优化:

w = quadprog( H, f, [], [], Aeq, beq, lb );

应该可以帮到你!