haskell - Haskell 类型类中的乘积和求和类型并行

Question

看起来类型类如 Applicative , Monad和 Arrow在类型类中具有某种等价的总和类型，例如 Alternative , MonadPlus和 ArrowPlus分别。例如，Applicative 和 Alternative 可用于定义以下内容:

(<&&>) :: Applicative f => f a -> f b -> f (a, b)
a <&&> b = (,) <$> a <*> b

(<||>) :: Alternative f => f a -> f b -> f (Either a b)
a <||> b = (Left <$> a) <|> (Right <$> b)

但是，在所有这些情况下(以及 ArrowChoice )，产品类型类是总和类型类的先决条件。是否有依赖于先决条件类的类型类规则或通用函数？ Typeclassopedia涉及这些关系，但不幸的是我找不到任何明确的依赖原因。

Answer 1

Arrow 基本上是 monoidal categories 的类¹ – “monoid”不是指 Monoid，而是 Haskell 类型的乘积monoid。即，使用单位元素 () 和乘法 (,)。现在，求和类型也构成了一个幺半群，这就是 ArrowChoice 使用的。从这个意义上说，这两个类别是互补的。 ArrowChoice 实际上不应该是 Arrow 的子类。

在幺半群类别中，您可以继续得到 monoidal functors 。这些结果如何取决于你使用什么作为你的类型幺半群。对于 (), (,)，您将得到

class ProdMonoidalFtor f where
  prodUnit :: () -> f ()
  prodZip :: (f a, f b) -> f (a,b)

type (+) = Either
class SumMonoidalFtor f where
  sumUnit :: Void -> f Void
  sumZip :: f a + f b -> f (a+b)

事实证明后者基本上没有用，因为 Void 是 initial object Hask，这意味着所有类型 a 都存在一个 Void -> a (即 absurd ) 。然而，真正有意义的是带有 + 的共形仿函数:

class SumCoMonoidalFtor f where
  sumCounit :: f Void -> Void -- I bet you find this useless too, but it's not totally.
  sumCozip :: f (a+b) -> f a + f b

这对于产品类型来说是没有意义的，因为 () 是 terminal 对象。

现在有趣的是，ProdMonoidalFtor 相当于 Applicative:

instance (ProdMonoidalFtor f) => Applicative f where
  pure x = fmap (const x) $ prodUnit ()
  fs <*> xs = fmap (\(f,x) -> f x) $ prodZip (fs,xs)

人们可能会怀疑 Alternative 等同于 SumMonoidalFtor，但事实并非如此!其实相当于decisive functors ，即comonads就像应用词对于单子(monad)一样。

虽然 Alternative 和 MonadPlus 似乎并没有太多数学支持，但它们本质上就是“un-Kleisliing”ArrowChoice 时得到的结果 类，但使用源自 ProdMonoidalFtor 的 Kleisli 类别。这一切都有点可疑。

<小时/>

¹_{仅考虑第一个/左、第二个/右和***/+++。至于剩下的&&&、|||和arr，这些更具体，IMO属于in seperate classes .}