matlab - 基于矩阵 A，通过矩阵 A 的列的所有可能的乘法生成矩阵 B

Question

假设我有一个包含 3 列的矩阵:c1、c2、c3，我想创建一个新矩阵，其中每个列是该矩阵的两列的任何可能的乘积。

因此，如果我有一个包含 d 列的矩阵，我想创建一个包含 d+d(d-1)/2+d 列的新矩阵。例如，考虑具有 3 列 c1、c2、c3 的矩阵。我想要创建的矩阵应包含列 c1、c2、c3、c1xc2、c2xc3、c1xc3、c1^2、c2^2 和 c3^2。

有什么有效的方法可以做到这一点吗？

Answer 1

我很尴尬地发布这个 - 我确信一定有一个更简单的方法(有一个非常更简单的方法 - 请参阅答案底部我的 12 月更新)，但是这个将完成这项工作:

A = [1 2 3; 4 5 6];
n =  size(A, 2);

B = A(:, reshape(ones(n, 1) * (1:n), 1, n^2)) .* repmat(A, 1, n);
Soln = [A, B(:, logical(reshape(tril(toeplitz(ones(n, 1))), 1, n^2)'))];

计算效率不高，因为在 B 步骤中，我实际上计算了所需组合数量的两倍(即我得到 c1.*c1、c1.*c2、c1.*c3 ，c2.*c1，c2.*c2，c2.*c3，c3.*c1，c3.*c2，c3.*c3)，然后在第二步中我只取出我需要的列(例如我摆脱 c3.*c1 因为我已经有了 c1.*c3 等等)。

更新:刚刚出去开车，我想到了一个更好的方法。您只需构造两个以下形式的索引向量:I1 = [1 1 1 2 2 3] 和 I2 = [1 2 3 2 3 3]，然后 (A(:, I1) .* A(:, I2)) 将为您提供您想要的所有列产品。我现在不在电脑旁，但稍后会回来并找出构建索引向量的通用方法。我认为使用 tril(toeplitz) 构造可以相当容易地完成。干杯。几个小时后更新。

更新:罗迪的第二个解决方案(+1)正是我在之前的更新中所想到的，所以我不会费心重复他现在所做的事情。尤达的实际上也很整洁，所以另一个+1。

十二月更新:有趣的是，在这里工作之后，我不得不重新审视这个问题以进行我自己的研究(编码怀特的异方差性检验)。我现在实际上更喜欢一种新方法，这是 @slayton 在评论中推荐的(有点神秘)。具体来说，使用nchoosek。我的新解决方案如下所示:

T = 20; K = 4;
X = randi(100, T, K);
Index = nchoosek((1:K), 2);
XAll = [X, X(:, Index(:, 1)) .* X(:, Index(:, 2)), X.^2];

nchoosek 准确地生成了我们快速轻松地构建叉积所需的索引!