haskell - "function inside a functor"到底是什么意思

Question

在范畴论中仿函数是两个范畴之间的同态。在 Haskell 中，据说应用仿函数允许我们在“仿函数内部”应用函数。人们能否将“仿函数内的函数”这句话翻译回数学或给出一些其他见解？ (我知道仿函数可以是 Maybe、[] 等，但仍然很难理解这个概念。)

Answer 1

我的范畴论一点也不强(我是从Haskell的编程方面开始的，最近一直在尝试学习它的一些概念的一些范畴论基础)。但这是我所得到的:

在 Haskell 中，仿函数是类型构造函数，这意味着它从一般类型映射到“仿函数中的类型”。

在范畴论中，仿函数从一个类别的对象映射到另一个类别的对象。

将范畴论应用于 Haskell 时，我们想象我们正在使用范畴 Hask，即 Haskell 类型的范畴。

所以 Haskell 仿函数不是一般范畴论仿函数；它们都从 Hask 映射到 Hask 的子类别(因为某些仿函数 f 的类型 f a 和任意类型a仍然是Haskell类型)。例如，Maybe 仿函数将 Hask 中的对象(类型)映射到 Maybe a 形式的类型类别。

函数在 Haskell 中是一流的，因此函数类型是完全普通的类型(并且是 Hask 的对象)，因此仿函数也将函数类型映射到“函数类型”仿函数”。因此，短语“仿函数内的函数”是将仿函数应用于函数类型而产生的类型中的值的简写。例如Just (+1) 是 Maybe (Int -> Int) 类型中的一个特定值，它是 Maybe 所指向的对象(类型) code> 仿函数映射对象 Int -> Int。

因此，“应用仿函数”是一个具有一些额外规则的仿函数，这些规则足以获取值，这些值是仿函数“目标”类别的对象类型中的函数，并应用这些值值到目标类别中类型中的其他值。

再次使用Maybe作为例子，如果我们只知道它是一个仿函数，它为我们提供了对象Int -> Char和Maybe之间的对应关系( Int -> Char)，以及对象 Int 和 Maybe Int 之间，以及对象 Char 和 Maybe 之间字符。但是，虽然我们能够获取 Int -> Char 中的值和 Int 中的值并生成 Char 中的值，Maybe 作为仿函数并不能保证我们有能力使用 Maybe (Int -> Char) 中的值和 Maybe Int 中的值执行某些相应的操作.

当我们也知道它是一个应用仿函数时，我们就有能力获取 Maybe (Int -> Char) 中的值和 Maybe Int 中的值并在 Maybe Char 中生成一个值，这满足将 Int -> Char 值应用到 Int 值时的某些属性。

据我所知，从纯范畴论的角度来看，应用仿函数并不是很有趣。也许这是因为范畴论关注对象之间的关系，这些对象对应于 Haskell 中的类型，但从编程的角度来看，应用仿函数是由这些类型中的值之间的关系驱动的？ (我们希望使用仿函数获得的“函数类型”中的值仍然能够应用于事物进行计算)。