image-processing - 将高斯模糊中的 2d 掩模转换为 1d

Question

我正在尝试实现高斯模糊。我已经使用 wikipedia 上提供的 2d 函数计算了掩码。我目前有一个二维矩阵。据我所知，为了提高运行时间，由于高斯的可分离性，可以避免使用标准卷积方法。换句话说，就像这个This answer说，“在高斯模糊的情况下，它分解为两个一维运算”。

This page很有帮助，但是，我不明白如何从现有的 2d 掩模中获取 1d 掩模。例如，this page将图 3 中的 2d 掩模转换为图 4 中的 1d 掩模。如何进行此转换？

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是否足以开始计算 1d 掩模，并将其应用到 x 方向，然后应用到 y 方向？

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我发现，是的，我们可以简单地生成一个一维掩模并在 x 和 y 方向上使用它。然而，问题是当我应用高斯滤波器时生成的图像的质量。

我假设当计算掩模和原始图像的选定部分的点积时需要进行一些操作。是什么导致最终图像变成这样？

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除了@Jeremie Miserez 的回答之外，这个 page非常有帮助。如果有人需要了解这是如何完成的，它也有代码。

Answer 1

This article关于可分离卷积应该会让事情变得更清楚。

我最近不得不这样做，所以这里是:作为示例，我们使用基于标准差为 0.85 的二维高斯分布的内核。我们需要一个 3x3 内核(Matlab 代码)。

>> h = fspecial('gaussian',3,0.85)

h =
    0.0626    0.1250    0.0626
    0.1250    0.2497    0.1250
    0.0626    0.1250    0.0626

请注意，所有条目的总和为 1，即如果将其用作滤镜，图像的亮度不会改变:

>> sum(sum(h))

ans =
     1

另请注意 rank是 1，因此内核实际上是可分离的(两个向量 h1 和 h2 相乘时将得到 h:h1*h2 =h)

>> rank(h)

ans =
     1

太好了，我们可以继续了。请注意，如果排名大于 1，您仍然可以获得近似值，但您可能需要使用不同的技术(请参阅末尾的链接)。

无需详细说明，我们就singular value decomposition使用 svd 函数。这是一个标准函数，用于计算 U*S*V'=h 并且可在许多数学库中使用。

>> [U,S,V] = svd(h)

U =
   -0.4085    0.9116   -0.0445
   -0.8162   -0.3867   -0.4292
   -0.4085   -0.1390    0.9021

S =
    0.3749         0         0
         0    0.0000         0
         0         0    0.0000

V =
   -0.4085   -0.3497   -0.8431
   -0.8162    0.5534    0.1660
   -0.4085   -0.7559    0.5115

我们现在知道 U*S*V'=h (V' 是 V 的转置)。现在，对于 1 阶矩阵，S 应该只有 1 个奇异值，其余的应该为 0(有关更多信息，请参阅本答案末尾的讨论)。

所以我们现在需要的是(h1)*(h2)=h。我们可以将 S 拆分为两个不同的值，以便 s1*s2=S。因此我们得到:U*s1*s2*V'=h，然后是(U*s1)*(s2*V')=h。

您可以选择如何分割 S，但使用平方根会将 S 在 h1 和 之间平均分割h2:

>> h1 = U*sqrt(S)

h1 =
   -0.2501    0.0000   -0.0000
   -0.4997   -0.0000   -0.0000
   -0.2501   -0.0000    0.0000

>> h2 = sqrt(S)*V'

h2 =
   -0.2501   -0.4997   -0.2501
   -0.0000    0.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000    0.0000

请注意，我们不需要带有零的额外行/列，因此我们可以像这样更简单:

>> h1 = U(:,1)*sqrt(S(1,1))

h1 =
   -0.2501
   -0.4997
   -0.2501

>> h2 = sqrt(S(1,1))*V(:,1)'

h2 =
   -0.2501   -0.4997   -0.2501

请注意，减号相互抵消，因此您也可以根据需要将它们从 h1 和 h2 中删除:

h1 =
    0.2501
    0.4997
    0.2501
h2 =
    0.2501    0.4997    0.2501

>> h1*h2

ans =
    0.0626    0.1250    0.0626
    0.1250    0.2497    0.1250
    0.0626    0.1250    0.0626

这(几乎)与我们之前的相同:

>> h1*h2 - h

ans =
   1.0e-16 *
         0    0.2776   -0.1388
         0    0.5551   -0.2776
         0    0.2776   -0.1388

请注意，机器精度 eps 只是:

>> eps
ans =
   2.2204e-16

所以误差很小，在这种情况下是由于不精确造成的。如果您的误差远大于此，您很可能只是忽略剩余的奇异值并计算 h 的 1 阶近似值。在这种情况下，您可能需要研究其他选项以获得更好的近似值，例如this implementation或this implementation .