c++ - 如何通过SAT和优化解决顶点覆盖问题？

Question

所以现在我正在研究使用 SAT 来解决最小顶点覆盖问题，这是我对图 G = {V,E} 具有 k 个顶点覆盖的编码，以下是子句:

Let n = sizeof(V);

首先，至少有一个顶点位于顶点覆盖中:

For i in {1..k}
    Add clause (x<1,i> ∨ x<2,i> ∨ ··· ∨ x<n,i>);

那么，任何一个顶点都不能在顶点覆盖中出现两次:

For j in {1..n}
    For l and m in {1..k} with l < m
        Add clause (¬x<j,l> ∨ ¬x<j,m>) 

之后，顶点覆盖中的某一特定位置只能出现一个顶点:

For j in {1..k}
    For l and m in {1..n} with l < m
        Add clause (¬x<l,j> ∨ ¬x<m,j>) 

最后，顶点覆盖中至少有一个顶点应来自边:

For i and j in each edge e from E
    Add clause (x<i,1> ∨ x<i,2> ∨ ... ∨ x<i,k> ∨ x<j,1> ∨ ... ∨ x<j,k>)

现在我可以通过使用这种编码来获得最小顶点覆盖，但效率很差。我只能得到顶点数 < 20 个的图的结果，否则只需要几分钟和几小时才能得到结果。我现在正在考虑从 SAT 进一步降低，也许到 3SAT。但看起来我不能简单地将所有子句从 nCNF 更改为 3CNF 以获得相同的结果。谁能帮我弄清楚我下一步应该做什么？我需要全新的编码吗？

非常感谢。

顺便说一句，我使用 MiniSAT 作为求解器。

Answer 1

首先，我假设我无法理解您的编码，所以我将从头开始。这就是我解决问题的方法。

注意:我的示例基于 SMT-LIB语法，可以使用 MaxSMT 求解器求解，例如 z3和 optimathsat 。但是，由于它不使用任何 SMT 功能，因此您实际上可以使用 the standard WCNF format 编写相同的内容。用于MaxSAT比赛。这将为您在选择求解器来处理问题时提供更多选择。我可能是错的，但我推测 MaxSAT 求解器在这个特定问题上可能优于 MaxSMT 求解器。

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设 G = {V, E} 为图表。

首先，为图中的每个顶点声明一个 bool 变量:

(declare-fun vertex_1 () Bool)
...
(declare-fun vertex_K () Bool)

(任何没有边的顶点都应该被省略，因为它只会浪费时间。)

其次，为图中连接顶点 i 和顶点 j 的每条边声明一个 bool 变量(假设无向)

(declare-fun edge_i_j () Bool)
...

第三，断言必须覆盖每条边edge_i_j:

(assert edge_i_j)
...

第四，如果一条边 edge_i_j 被覆盖，则顶点 i 或顶点 j 必须为 true :

(assert (=> edge_i_j (or vertex_i vertex_j)))
...

第五，对于每个 vertex_i，使用 soft 子句断言 vertex_i 应该为 false。如果情况并非如此，则对 cover 的值进行值 1 的惩罚:

(assert-soft (not vertex_i) :weight 1 :id cover)

最后解决问题:

(set-option :config opt.maxsmt_engine=maxres) ; only for optimathsat
(minimize cover)                              ; only for optimathsat
(check-sat)
(get-objectives)
(get-model)

此时，我们可以使用任何高效的 MaxSAT/MaxSMT 引擎(例如 MaxRes )来获得一个覆盖所有边缘的模型，同时使用最少的资源顶点数(如果有)。