algorithm - 数组中的最大绝对差

Question

我遇到了这个算法问题。我能够实现 O(n^2) 解决方案。有没有更好的方法在 O(n) 时间内做到这一点？

问题:

给定一个由 N 个整数组成的数组，A1, A2,…, AN。返回所有 1 ≤ i, j ≤ N 的 f(i, j) 的最大值。 f(i, j) 定义为 |A[i] - A[j]| + |i - j|，其中 |x| 表示 x 的绝对值。

示例:

A=[1, 3, -1]

f(1, 1) = f(2, 2) = f(3, 3) = 0
f(1, 2) = f(2, 1) = |1 - 3| + |1 - 2| = 3
f(1, 3) = f(3, 1) = |1 - (-1)| + |1 - 3| = 4
f(2, 3) = f(3, 2) = |3 - (-1)| + |2 - 3| = 5

因此，我们返回 5。

我的答案:

public class Solution {
    public int maxArr(ArrayList<Integer> A) {
        int maxSum = 0;

        for(int i=1; i<=A.size()-1; i++){
            for(int j=i+1; j<=A.size(); j++){
                int tempSum = sum(A.get(i-1), A.get(j-1), i, j);

                if(tempSum > maxSum) {
                    maxSum = tempSum;
                }
            }
        }

        return maxSum;
    }

    public int sum(int Ai, int Aj, int i, int j) {
        return Math.abs(Ai-Aj) + Math.abs(i-j);
    }
}

此外，在我的解决方案中，内部循环从 i + 1 运行到 N，因此最坏的情况是该循环的 N-1。我的整体解决方案仍然是 O(n^2) 吗？

Answer 1

是的，你的解决方案仍然是 O(N^2)如(N - 1) + (N - 2) + ... + 1 = N * (N - 1) / 2 .

我将展示如何在线性时间内解决更一般的问题:给出 2D 空间中的点列表 (x[i], y[i])，找到两个最远的点(相对于曼哈顿距离)。

1. 让我们找到以下点:max(x[i] + y[i]), max(-x[i] + y[i]), max(-y[i] + x[i] ]) 和 max(-x[i] - y[i]) 在所有 i 中。

2. 让我们计算列表中的每个点与上一步中选择的四个点之间的距离，并选择最大的一个。该算法显然在线性时间内工作，因为它考虑 4 * N点对。我声称这是正确的。

3. 为什么？让我们固定一个点 (x[k], y[k]) 并尝试找到离它最远的点。考虑任意点 (x[i], y[i])。让我们扩大它们的坐标之间的差异的绝对值。我们假设它是 x[i] + x[k] + y[i] + y[k] = (x[k] + y[k]) + x[i] + y[i] 。第一项是常数。如果x[i] + y[i]不是所有 i 中最大的, (x[i], y[i])不可能是最远的。其他三种情况(取决于展开式中 x[i] 和 y[i] 的符号)以相同的方式处理。