Ax=b 线性代数系统的 C++ 内存高效解决方案

Question

我正在使用 Boost UBlas 的数值库绑定(bind)来求解一个简单的线性系统。 以下工作正常，除了它仅限于处理矩阵 A(m x m) 相对 小“m”。

在实践中，我有一个更大的矩阵，维度 m= 10^6(最多 10^7)。
是否存在有效使用内存的现有 C++ 方法来解决 Ax=b。

#include<boost/numeric/ublas/matrix.hpp>
#include<boost/numeric/ublas/io.hpp>
#include<boost/numeric/bindings/traits/ublas_matrix.hpp>
#include<boost/numeric/bindings/lapack/gesv.hpp>
#include <boost/numeric/bindings/traits/ublas_vector2.hpp>

// compileable with this command


//g++ -I/home/foolb/.boost/include/boost-1_38 -I/home/foolb/.boostnumbind/include/boost-numeric-bindings solve_Axb_byhand.cc -o solve_Axb_byhand -llapack


namespace ublas = boost::numeric::ublas;
namespace lapack= boost::numeric::bindings::lapack;


int main()
{
    ublas::matrix<float,ublas::column_major> A(3,3);
    ublas::vector<float> b(3);


    for(unsigned i=0;i < A.size1();i++)
        for(unsigned j =0;j < A.size2();j++)
        {
            std::cout << "enter element "<<i << j << std::endl;
            std::cin >> A(i,j);
        }

    std::cout << A << std::endl;

    b(0) = 21; b(1) = 1; b(2) = 17;

    lapack::gesv(A,b);

    std::cout << b << std::endl;


    return 0;
}

Answer 1

简短回答:不要使用 Boost 的 LAPACK 绑定(bind)，这些绑定(bind)是为密集矩阵设计的， 不是稀疏矩阵，请改用 UMFPACK。

长答案:UMFPACK 是解决 A 大且稀疏时 Ax=b 的最佳库之一。

• http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/
• http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/UMFPACK/Doc/QuickStart.pdf

下面是示例代码(基于umfpack_simple.c)生成一个简单的A和b 并求解 Ax = b。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include "umfpack.h"

int    *Ap; 
int    *Ai;
double *Ax; 
double *b; 
double *x; 

/* Generates a sparse matrix problem: 
   A is n x n tridiagonal matrix
   A(i,i-1) = -1;
   A(i,i) = 3; 
   A(i,i+1) = -1; 
*/
void generate_sparse_matrix_problem(int n){
  int i;  /* row index */ 
  int nz; /* nonzero index */
  int nnz = 2 + 3*(n-2) + 2; /* number of nonzeros*/
  int *Ti; /* row indices */ 
  int *Tj; /* col indices */ 
  double *Tx; /* values */ 

  /* Allocate memory for triplet form */
  Ti = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Tj = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Tx = malloc(sizeof(double)*nnz);

  /* Allocate memory for compressed sparse column form */
  Ap = malloc(sizeof(int)*(n+1));
  Ai = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Ax = malloc(sizeof(double)*nnz);

  /* Allocate memory for rhs and solution vector */
  x = malloc(sizeof(double)*n);
  b = malloc(sizeof(double)*n);

  /* Construct the matrix A*/
  nz = 0;
  for (i = 0; i < n; i++){
    if (i > 0){
      Ti[nz] = i;
      Tj[nz] = i-1;
      Tx[nz] = -1;
      nz++;
    }

    Ti[nz] = i;
    Tj[nz] = i;
    Tx[nz] = 3;
    nz++;

    if (i < n-1){
      Ti[nz] = i;
      Tj[nz] = i+1;
      Tx[nz] = -1;
      nz++;
    }
    b[i] = 0;
  }
  b[0] = 21; b[1] = 1; b[2] = 17;
  /* Convert Triplet to Compressed Sparse Column format */
  (void) umfpack_di_triplet_to_col(n,n,nnz,Ti,Tj,Tx,Ap,Ai,Ax,NULL);

  /* free triplet format */ 
  free(Ti); free(Tj); free(Tx);
}


int main (void)
{
    double *null = (double *) NULL ;
    int i, n;
    void *Symbolic, *Numeric ;
    n = 500000;
    generate_sparse_matrix_problem(n);
    (void) umfpack_di_symbolic (n, n, Ap, Ai, Ax, &Symbolic, null, null);
    (void) umfpack_di_numeric (Ap, Ai, Ax, Symbolic, &Numeric, null, null);
    umfpack_di_free_symbolic (&Symbolic);
    (void) umfpack_di_solve (UMFPACK_A, Ap, Ai, Ax, x, b, Numeric, null, null);
    umfpack_di_free_numeric (&Numeric);
    for (i = 0 ; i < 10 ; i++) printf ("x [%d] = %g\n", i, x [i]);
    free(b); free(x); free(Ax); free(Ai); free(Ap);
    return (0);
}

函数 generate_sparse_matrix_problem 创建矩阵 A 和 右侧 b。该矩阵首先以三元组形式构建。这 vector Ti、Tj 和 Tx 完全描述了 A。三元组形式很容易创建，但 高效的稀疏矩阵方法需要压缩稀疏列格式。转换 使用 umfpack_di_triplet_to_col 执行。

使用 umfpack_di_symbolic 执行符号分解。稀疏的 A 的 LU 分解是使用 umfpack_di_numeric 执行的。 使用 umfpack_di_solve 执行下三角和上三角求解。

n 为 500,000，在我的机器上，整个程序运行大约需要一秒钟。 Valgrind 报告分配了 369,239,649 字节(略高于 352 MB)。

注意这个page讨论 Boost 对 Triplet 中稀疏矩阵的支持(坐标) 和压缩格式。如果你愿意，你可以编写例程来转换这些 boost 对象 到简单数组 UMFPACK 需要作为输入。