java - java long 的算术问题

Question

我有两个方程:x * x - D * y * y = 1 和 x = sqrt(1 + D * y * y)。 两者都是对方的代数运算。

给定 D，我需要求解 x 的最小整数值，以便 y 也是整数。我循环遍历可能的 y 值，将它们代入第二个方程并测试 x 是否为整数。如果是，我返回 x。

我遇到的问题是，当 x、y 和 D 代入第一个方程时，它不等于 1。

这些是一些有问题的值:

1. x=335159612 y=42912791 D=61
2. x=372326272 y=35662389 D=109

我的直觉是java的Math.sqrt方法不会计算这么小的小数，但是BigDecimal没有平方根方法。

我的数学是不是错了？如果不是，我该怎么做才能准确计算x和y？

编辑:这是问题的根源以及测试 double 是否为自然数的方法。

public static void main(String[] args){
    long x = 335159612, D = 61, y = 42912791;
    System.out.println(Math.sqrt(D * y * y + 2)); // 3.35159612E8
    System.out.println(x * x - D * y * y); // 3
}

public static boolean isNatural(double d){
    return d == (int)d;
}

Answer 1

注意“double”的精度。

根据 IEEE 754-1985， double 提供 16 位数字(绝对精确为 15,9)。

例如 a) SQRT(112331965515990542) 是

335159611.99999999701634694576505237017910

转换为 double 后，得到 3.3515961199999999E8

b) SQRT(112331965515990543)

335159611.99999999850817347288252618840968

转换为 double 后，得到 3.3515961199999999E8。 因此，根据 IEEE 754-1985 定义，这些值是相等的。 显然，一般来说，任何进一步的逻辑/数学检查都是不准确的。

为了克服这个限制，我推荐 www.javasoft.ch 中的 BigMath 包。

import ch.javasoft.math.BigMath;
import java.math.BigDecimal;

class Tester {
    public static void main(String[] args) {
        long D = 61L, y = 42912791L;
        double a = Math.sqrt(D * y * y + 1);
        double b = Math.sqrt(D * y * y + 2);
        System.out.println(a);
        System.out.println(b);
        System.out.println(a == b);

        BigDecimal bda = BigMath.sqrt(new BigDecimal(D * y * y + 1), 32);
        BigDecimal bdb = BigMath.sqrt(new BigDecimal(D * y * y + 2), 32);
        System.out.println(bda.toString());
        System.out.println(bdb.toString());
        System.out.println(bda.equals(bdb));
    }
}

结果:

3.35159612E8
3.35159612E8
true
335159611.99999999701634694576505237017910
335159611.99999999850817347288252618840968
false

<小时/>

P.s.要彻底毁掉你对标准 Java 数学的信心，试试这个:

System.out.println(0.9200000000000002);
System.out.println(0.9200000000000001);

你会看到:

0.9200000000000002
0.9200000000000002