java - 椭圆曲线加密

Question

请为我提供一个使用 BouncycaSTLe 库的示例，展示如何在椭圆曲线上添加两个点。

我尝试了以下代码，但没有得到理论上应该发生的相同结果。

   X9ECParameters x9=NISTNamedCurves.getByName("P-224");
   ECCurve curve=x9.getCurve();
   ECFieldElement x1=new ECFieldElement.Fp(new BigInteger("10"), new BigInteger("8"));
   ECFieldElement y1=new ECFieldElement.Fp(new BigInteger("10"), new BigInteger("9"));
   ECPoint.Fp p1=new ECPoint.Fp(curve, x1, y1);
   ECFieldElement x2=new ECFieldElement.Fp(new BigInteger("10"), new BigInteger("5"));
   ECFieldElement y2=new ECFieldElement.Fp(new BigInteger("10"), new BigInteger("6"));
   ECPoint.Fp p2=new ECPoint.Fp(curve, x2, y2);
   p2=(ECPoint.Fp) p1.add(p2);
   System.out.println(p2.getX().toBigInteger()+" "+p2.getY().toBigInteger());

而且我也不明白为 ECFiledElement 中的第一个 BigInteger 提供什么值。

Answer 1

你的例子根本没有意义，所以很难理解你认为结果应该是什么。通过使用像 ECFieldElement 这样的低级类，您将承担提供合理参数的全部责任。您已选择 NIST 曲线 P-224。该椭圆曲线是在特定字段上定义的。您可以检索此有限域的素数“q”，并使用它通过以下方式创建域元素(与您的示例不同):

    X9ECParameters x9 = NISTNamedCurves.getByName("P-224");
    ECCurve.Fp curve = (Fp) x9.getCurve();
    BigInteger q = curve.getQ();
    ECFieldElement x1 = new ECFieldElement.Fp(q, new BigInteger("8"));
    ECFieldElement y1 = new ECFieldElement.Fp(q, new BigInteger("9"));

ECFieldElement.Fp 构造函数的第一个参数是定义字段的素数。

您的示例的第二个问题是，并非每对 (x,y) 整数都是椭圆曲线上的点。随机 (x,y) 出现在 P-224 上的机会非常小。再次强调，通过扰乱低级 EPoint 类，BouncycaSTLe 不会为您检查这一点。因此，虽然您可以运行椭圆曲线加法软件的机制并给出答案，但这些答案毫无意义。

为了取得更多进展，我必须首先问:你想做什么？

在椭圆曲线上查找点

在椭圆曲线上查找点有两种基本方法。

1. 取曲线上现有的已知点并将标量乘以整数。结果是曲线上的另一个点。
2. 选择一个 x 坐标，例如 x₁。将其插入 elliptic curve formula 的右侧得到 y₁² = E(x1)。然后尝试计算字段中的平方根。如果平方根存在，那么您将得到两个点 (x₁, y₁) 和 (x₁,-y₁ )位于曲线上。如果平方根不存在，则曲线上不存在 x 坐标为 x₁ 的点。

您可以通过以下方式获得椭圆曲线上的一个点:ECPoint.Fp = (ECPoint.Fp)x9.getG(); 您可以将该点乘以一个带有ECPoint 的整数。乘法(...)。

使用方法 #2 比使用 BouncycaSTLe 更难。所有方法都位于 ECPoint 和 ECFieldElement 类中。 ECFieldElement 类包含一个公共(public)平方根方法，您可以使用该方法来尝试计算平方根。如果返回 null，则平方根不存在。