大多数拥有CS学位的人当然会知道Big O stands for是什么。
它可以帮助我们评估算法的可扩展性。
但是我很好奇,您如何计算或估算算法的复杂性?
最佳答案
我会尽力在这里简单地解释它,但要注意,这个主题需要我的学生花几个月的时间才能最终掌握。您可以在Data Structures and Algorithms in Java书的第2章中找到更多信息。
没有mechanical procedure可用于获取BigOh。
作为“食谱”,要从一段代码中获得BigOh,您首先需要意识到您正在创建一个数学公式,以计算给定大小的输入后执行多少计算步骤。
目的很简单:从理论的角度比较算法,而无需执行代码。步骤数越少,算法越快。
例如,假设您有这段代码:
int sum(int* data, int N) {
int result = 0; // 1
for (int i = 0; i < N; i++) { // 2
result += data[i]; // 3
}
return result; // 4
}
此函数返回数组所有元素的总和,我们想创建一个公式来计算该函数的computational complexity:
Number_Of_Steps = f(N)
因此,我们有了
f(N)
,该函数可以计算计算步骤的数量。函数的输入是要处理的结构的大小。这意味着将调用该函数,例如:Number_Of_Steps = f(data.length)
参数
N
采用data.length
值。现在我们需要函数f()
的实际定义。这是从源代码完成的,其中每个有趣的行从1到4编号。有许多方法可以计算BigOh。从这一点出发,我们将假定不依赖于输入数据大小的每个句子都采用恒定的
C
个计算步骤。我们将添加该函数的各个步骤,并且局部变量声明和return语句都不依赖于
data
数组的大小。这意味着第1行和第4行每个都执行C步,并且功能有点像这样:
f(N) = C + ??? + C
下一部分是定义
for
语句的值。请记住,我们正在计算计算步骤的数量,这意味着for
语句的主体被执行N
次。这与添加C
,N
次相同:f(N) = C + (C + C + ... + C) + C = C + N * C + C
没有机械规则来计算
for
的主体执行了多少次,您需要通过查看代码的作用来对其进行计数。为了简化计算,我们忽略了for
语句的变量初始化,条件和增量部分。要获取实际的BigOh,我们需要函数的Asymptotic analysis。大致是这样完成的:
带走所有常量
C
。从
f()
获取其standard form
中的polynomium。将多项式的项除以增长率。
保持当
N
接近infinity
时会变大的那个。我们的
f()
有两个术语:f(N) = 2 * C * N ^ 0 + 1 * C * N ^ 1
除去所有
C
常量和冗余部分:f(N) = 1 + N ^ 1
由于最后一项是当
f()
接近无穷大时考虑的项(请考虑limits),因此这是BigOh参数,而sum()
函数的BigOh为:O(N)
有一些技巧可以解决一些棘手的问题:尽可能使用summations。
例如,可以使用求和轻松地解决此代码:
for (i = 0; i < 2*n; i += 2) { // 1
for (j=n; j > i; j--) { // 2
foo(); // 3
}
}
您需要问的第一件事是
foo()
的执行顺序。虽然通常是O(1)
,但您需要向教授询问。 O(1)
表示(几乎,几乎是)常量C
,与大小N
无关。关于第一句的
for
语句很棘手。当索引以2 * N
结尾时,增量增加2。这意味着第一个for
仅执行N
个步骤,我们需要将计数除以二。f(N) = Summation(i from 1 to 2 * N / 2)( ... ) =
= Summation(i from 1 to N)( ... )
第二句甚至更棘手,因为它取决于
i
的值。看一下:索引i取值:0、2、4、6、8,...,2 * N,第二个for
被执行:第一个N倍,第二个N-2, N-4第三个...直到N / 2阶段,第二个for
永远不会执行。在公式上,这意味着:
f(N) = Summation(i from 1 to N)( Summation(j = ???)( ) )
同样,我们正在计算步骤数。并且根据定义,每次求和应始终始于一个,并以大于或等于1的数字结束。
f(N) = Summation(i from 1 to N)( Summation(j = 1 to (N - (i - 1) * 2)( C ) )
(我们假设
foo()
是O(1)
并采取C
步骤。)我们这里有一个问题:当
i
向上取值N / 2 + 1
时,内部求和运算将以负数结束!那是不可能的,也是错误的。我们需要将总和一分为二,成为i
取N / 2 + 1
时的关键点。f(N) = Summation(i from 1 to N / 2)( Summation(j = 1 to (N - (i - 1) * 2)) * ( C ) ) + Summation(i from 1 to N / 2) * ( C )
由于关键时刻
i > N / 2
,内部的for
将不会执行,因此我们假设C主体上的C执行复杂度恒定。现在,可以使用一些标识规则来简化求和:
求和(w从1到N)(C)= N * C
求和(w从1到N)(A(+/-)B)=求和(w从1到N)(A)(+/-)求和(w从1到N)(B)
求和(w从1到N)(w * C)= C *求和(w从1到N)(w)(C是一个常数,独立于
w
)求和(w从1到N)(w)=(N *(N + 1))/ 2
应用一些代数:
f(N) = Summation(i from 1 to N / 2)( (N - (i - 1) * 2) * ( C ) ) + (N / 2)( C )
f(N) = C * Summation(i from 1 to N / 2)( (N - (i - 1) * 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (Summation(i from 1 to N / 2)( N ) - Summation(i from 1 to N / 2)( (i - 1) * 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * Summation(i from 1 to N / 2)( i - 1 )) + (N / 2)( C )
=> Summation(i from 1 to N / 2)( i - 1 ) = Summation(i from 1 to N / 2 - 1)( i )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * Summation(i from 1 to N / 2 - 1)( i )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * ( (N / 2 - 1) * (N / 2 - 1 + 1) / 2) ) + (N / 2)( C )
=> (N / 2 - 1) * (N / 2 - 1 + 1) / 2 =
(N / 2 - 1) * (N / 2) / 2 =
((N ^ 2 / 4) - (N / 2)) / 2 =
(N ^ 2 / 8) - (N / 4)
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * ( (N ^ 2 / 8) - (N / 4) )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - ( (N ^ 2 / 4) - (N / 2) )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - (N ^ 2 / 4) + (N / 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + C * (N / 2) + C * (N / 2)
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + 2 * C * (N / 2)
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + C * N
f(N) = C * 1/4 * N ^ 2 + C * N
BigOh是:
O(N²)
关于algorithm - 大O,您如何计算/近似?,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/54242200/