我正在编写一个代码,可以生成元素列表的所有排列以及基于原始列表的排列的签名。
一般来说,排列数由第一类斯特林数给出,作为划分 n 个元素的 k = n - C 循环的组合。
[n] [n - 1] [n - 1]
[ ] = (n - 1) [ ] + [ ]
[k] [ k ] [k - 1]
将n个元素划分为k个循环的方法数是将n - 1个非最大元素划分为k个循环,并以n - 1种方式之一拼接最大元素或将最大元素放入其自己的循环中将 n - 1 个非最大元素划分为 k - 1 个循环。然后,符号将由 (-1)^N-C 给出,其中 N 是索引数,C 是元素从原始位置移动时形成的循环数。
我编写了堆算法的变体,它可以生成每个排列的签名。
def permute(a, l, r):
if l==r:
print'Permutation--:',a
else:
for i in xrange(l,r+1):
if i!=l:
a[0]=(-1)*int(a[0])#Sign for permutation
a[l], a[i] = a[i], a[l]
permute(a, l+1, r)
a[l], a[i] = a[i], a[l]
if i!=l:#Sign for permutation
a[0]=(-1)*int(a[0])
test = "1hgfe"
n = len(test)
a = list(test)
permute(a, 1, n-1)
在例程排列列表 a 中,列表 a[0] 的第一个成员是符号,在本例中为 +1,对于每个排列,列表的符号乘以 -1。到目前为止,我认为代码有效,这是测试的结果。
['1', 'h', 'g', 'f', 'e'] (h->h) (g->g) (f->f) (e->e) (-1)^(4-4) or identity =+1
[-1, 'h', 'g', 'e', 'f'] (h->h) (g->g) (f->e) (-1)^(4-3)=-1
[-1, 'h', 'f', 'g', 'e'] (h->h) (g->f) (e->e) (-1)^(4-3)=-1
[1, 'h', 'f', 'e', 'g'] (h->h) (g->f->e) (-1)^(4-2)=+1
[-1, 'h', 'e', 'f', 'g'] (h->h) (g->e) (f->f) (-1)^(4-3)=-1
[1, 'h', 'e', 'g', 'f'] (h->h) (g->e->f) (-1)^(4-2)=+1
[-1, 'g', 'h', 'f', 'e'] (h->g) (f->f) (e->e) (-1)^(4-3)=-1
[1, 'g', 'h', 'e', 'f'] (h->g) (f->e) (-1)^(4-2)=+1
[1, 'g', 'f', 'h', 'e'] (h->g->f) (e->e) (-1)^(4-2)=+1
[-1, 'g', 'f', 'e', 'h'] (h->g->f->e) (-1)^(4-1)=-1
[1, 'g', 'e', 'f', 'h'] (h->g->e) (f->f) (-1)^(4-2)=+1
[-1, 'g', 'e', 'h', 'f'] (h->g->e->f) (-1)^(4-1)=-1
[-1, 'f', 'g', 'h', 'e'] (h->f) (g->g)(e->e) (-1)^(4-3)=-1
[1, 'f', 'g', 'e', 'h'] (h->f->e) (g->g) (-1)^(4-2)=+1
[1, 'f', 'h', 'g', 'e'] (h->f->g) (e->e) (-1)^(4-2)=+1
[-1, 'f', 'h', 'e', 'g'] (h->f->e->g) (-1)^(4-1)=-1
[1, 'f', 'e', 'h', 'g'] (h->f) (g->e) (-1)^(4-2)=+1
[-1, 'f', 'e', 'g', 'h'] (h->f->g->e) (-1)^(4-1)=-1
[-1, 'e', 'g', 'f', 'h'] (h->e) (g->g) (f->f) (-1)^(4-3)=-1
[1, 'e', 'g', 'h', 'f'] (h->e->f) (g->g) (-1)^(4-2)=+1
[1, 'e', 'f', 'g', 'h'] (h->e) (g->f) (-1)^(4-2)=+1
[-1, 'e', 'f', 'h', 'g'] (h->e->g->f) (-1)^(4-1)=-1
[1, 'e', 'h', 'f', 'g'] (h->e->g) (f->f) (-1)^(4-2)=+1
[-1, 'e', 'h', 'g', 'f'] (h->e->f->g) (-1)^(4-1)=-1
我的问题是:您认为我的代码适用于任何列表大小,即 [1,A,B,C......,Z_n]?是否有更有效的方法来生成排列及其符号?
最佳答案
是的,你的方法是正确的。您应该证明这一点,而不是直接证明这一点
(1) 执行 permute(a, l, r)
返回第 l
直到 的每个排列r
-a
的第一个字母 and 退出,a
等于执行开始时的值。
通过r - l
归纳可以直接证明这一点。如果没有声明中“退出时 a
相等”部分,那就很难了。
至于符号是否正确,这只是一个循环不变式:每次交换两个不同的条目时,都会将符号乘以 -1,并且这是唯一一次更改符号的次数。所以是的,第 0 个条目是过程中每次排列的符号。
Knuth 的 TAoCP(第 4A 卷)第 7.2.1.2 节致力于生成所有排列的算法。其中一些也可以轻松修改以生成其标志。我想知道你的是否也在其中。
关于python - 具有排列签名的堆算法,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/54525821/