python - 以最小误差求解非线性方程组

Question

我有一些非线性优化问题(最好用Python解决):

给定 2D 平面中的 3 个圆(中心 x1..3，y1..3，半径 d1..3)。

(x-x1)^2 + (y-y1)^2 - r1^2 = 0
(x-x2)^2 + (y-y2)^2 - r2^2 = 0
(x-x3)^2 + (y-y3)^2 - r3^2 = 0

公共(public)点 (x/y) 是所需的，在这种情况下可以通过 fsolve (scipy.optimize) 计算。 但是，如果半径 r1..3 的不确定性分别为 u1..3，如何解决这个问题呢？ IE。圆的真实半径位于 r-u ... r+u 区间内。

如何找到包含半径不确定性的最佳点 (x/y)？

Answer 1

考虑到这里的描述，这实际上并不难: http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html

提出的算法:

1. 找到 x - 如链接中所述。
2. 计算 y。

两者都应该使用任意 2 个圆圈来完成。

1. 将点 (x,y) 和 (x,-y) 插入第 3 个圆中。
2. 解决方案是所有三个圆相交于: x,y x,-y 或者根本不。

另一个建议... 我再次阅读了你的问题，并意识到你不想找到 重点是它本身...

但是，如果您在纸上画出所有 9 个圆(3 个相交的圆，加上 r+e 和 r-e 的 2 个较小和较大的圆，其中 e 是错误)，您会注意到以下情况。您的交点位于多边形内。你 可以很容易地计算出这个多边形的顶点。然后你的问题就变成了: 找到多边形中的一个点。 或者你编写一个找到这些顶点的反对函数，然后 您可以最小化该区域。

要了解我对圆圈的含义，请运行:

# excuse me for the ugly code ...
import pylab
pylab.axes()

cir = pylab.Circle((1,0), radius=1, alpha =.2, fc='b')
cir1 = pylab.Circle((1,0), radius=0.9, alpha =.2, fc='b')
cir2 = pylab.Circle((1,0), radius=1.1, alpha =.2, fc='b')
cir3 = pylab.Circle((-1,0), radius=1, alpha =.2, fc='b')
cir4 = pylab.Circle((-1,0), radius=0.9, alpha =.2, fc='b')
cir5 = pylab.Circle((-1,0), radius=1.1, alpha =.2, fc='b')
cir6 = pylab.Circle((0,-1), radius=0.9, alpha =.2, fc='b')
cir7 = pylab.Circle((0,-1), radius=1.1, alpha =.2, fc='b')
cir8 = pylab.Circle((0,-1), radius=1, alpha =.2, fc='b')
pylab.gca().add_patch(cir)
pylab.gca().add_patch(cir1)
pylab.gca().add_patch(cir2)
pylab.gca().add_patch(cir3)
pylab.gca().add_patch(cir4)
pylab.gca().add_patch(cir5)
pylab.gca().add_patch(cir6)
pylab.gca().add_patch(cir7)
pylab.gca().add_patch(cir8)

pylab.axis('scaled')
pylab.show()